完全平方数猜想及其证明方法

设有一个集合 $A$，这个集合中包含所有的完全平方数，以及 $2$ 和 $3$ 。即 $A=\{1,2,3,4,9,16,25...\}$ 。
完全平方数猜想指，所有的正整数都可以表示为集合 $A$ 中若干个不同项的和。

首先，考虑无数个集合 $N(n)$，$N(n)=\{$所有处在 $1$ 与 $n^2$之间的正整数$\}$ 。
接着，考虑一个集合 $C=\{$所有符合该猜想的正整数$\}$ 。
然后，考虑无数个多项式 $Dc(n)$，表示 $n$ 用此方法的表示法。

显而易见，猜想是正确的。
假设我们已经知道 $N(n)（n>2）∈C$ 。那么，考虑每一个处在区间 $[n^2 , (n+1)^2]$ 内的 $M$ 。如果 $M=(n+1)^2$ 或 $M=n^2$，那么 $M$ 是完全平方数，所以 $M∈C$。

如果 $M≠(n+1)^2$ 呢？这时，我们考虑使用类似于 $Q+Dc(p)=M$ 的形式来表示 $Dc(m)$，其中 $Q$ 是完全平方数。可以发现，$Q$ 可以取 $n^2$ ，这时 $p=M-n^2$ 。

那么，我们是否可以符合猜想要求地引用 $Dc(p)$ 呢？可以，因为 $p<n^2$，所以 $p∈N(n)$ ，而前面我们已经知道 $N(n)∈C$ 了，可得 $p∈C$。
那么，也许 $p≥n^2$？不可能。回顾 $p$ 的定义，它是 $M-n^2$，其中 $M$ 小于 $(n+1)^2$。此时的 $M$ 就算取 $(n+1)^2$ ， $p$的取值也只有 $(n+1)^2-n^2=2n+1$ ，然而，$n>2$，所以显而易见地， $p<n^2$ 。
综上所述，只要 $N(n)（n>2）∈C$，任何一个在 $[n^2 , (n+1)^2]$ 间取值的 $M$ 都属于$C$。
不过，也许我们不知道 $N(n)（n>2）∈C$ 。这时考虑 $N(3)$ 。众所周知，$3>2$：
$1=1$
$2=2$
$3=3$
$4=4$
$5=4+1$
$6=4+2$
$7=4+3$
$8=4+3+1$
$9=9$
接下来，使用上述推论，$N(4)∈C$。比如$Dc(15)=9+Dc(6)=9+4+2$。
于是：
$N(3)∈C$
得到$N(4)∈C$
得到$N(5)∈C$
得到$N(6)∈C$
……
根据数学归纳法，得到对于任何$n$，$N(n)∈C$。
得到$C=\{\mathbb{Z}^+ \}$。