题解：P12252 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 七边形

题意简述：

给定前四个七边形图案的小球数量：

$a_1 = 1$
$a_2 = 7$
$a_3 = 18$
$a_4 = 34$

求第20240601个七边形需要的小球数量

a_{20240601}

。

解题步骤

1. 寻找数列规律:

首先计算相邻项的差值：

$\Delta_1 = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$
$\Delta_2 = a_3 - a_2 = 18 - 7 = 11$
$\Delta_3 = a_4 - a_3 = 34 - 18 = 16$

貌似不对劲？

没关系，再差分一次！

再计算二阶差分。

$\Delta^2_1 = \Delta_2 - \Delta_1 = 11 - 6 = 5$
$\Delta^2_2 = \Delta_3 - \Delta_2 = 16 - 11 = 5$

由于二阶差分是个常数，说明这是一个二次递推关系，通项公式可以表示为：

a_n = An^2 + Bn + C

2. 建立方程组：

这里没有别的技巧，直接带进去算。

代入前三个已知值。

\begin{cases} A(1)^2 + B(1) + C = 1 \\ A(2)^2 + B(2) + C = 7 \\ A(3)^2 + B(3) + C = 18 \end{cases}

化简得：

\begin{cases} A + B + C = 1 \\ 4A + 2B + C = 7 \\ 9A + 3B + C = 18 \end{cases}

3. 解方程组：

~~来一手初中数学。~~

消元：

方程2 - 方程1： $3A + B = 6$ 。
方程3 - 方程2： $5A + B = 11$ 。
再相减得： $2A = 5 \Rightarrow A = \frac{5}{2}$ 。
代入得： $B = -\frac{3}{2}$ 。
最后得： $C = 0$ 。

通项公式：

a_n = \frac{5}{2}n^2 - \frac{3}{2}n = \frac{n(5n-3)}{2}

。

4. 算答案：

最关键一步来了！

a_{20240601} = \frac{20240601 \times (5 \times 20240601 - 3)}{2}

。

分步计算：

计算括号内： $5 \times 20240601 = 101203005$
$101203005 - 3 = 101203002$
$20240601 \times 101203002 = 20240601 \times (10^8 + 1.203002 \times 10^6)$
$= 2.0240601 \times 10^{15} + 2.4349483484202 \times 10^{13}$ $= 2.048409583484202 \times 10^{15}$
最后除以 $2$ 得到 $1.024204791742101 \times 10^{15}$ 。

~~计算器都按炸了。~~

最终答案：

第20240601个七边形需要的小球数量为：

\boxed{1024204791742101}

完结撒花！

CODE:

PYTHON

print(1024204791742101)

题解：P12252 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 七边形

文章操作

题意简述：

解题步骤

1. 寻找数列规律:

2. 建立方程组：

3. 解方程组：

消元：

通项公式：

4. 算答案：

分步计算：

最终答案：

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