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浅谈2025数学中考

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2025/12/02 18:10
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前言

本蒟蒻趁七升八暑假做了 20252025 全国各地的中考数学，这篇文章是对各地压轴（太烂或者没有参考价值的就没有）与一些好题的总结，包括自己做题的思路与套路和练习方向，希望能帮到您 QAQ。
注：本文大多数都是直接运用结论（如射影定理等），且是拔高内容，相信你能学 OI 数学一定很好。

四川成都

我就是这的，所以先这吧

B22 B填相似好题（B填倒2）

个人思路-T1

看到 45∘45^\circ，等腰三角形，正切值，果断想到作垂线。且发现对与等腰三角形底边的垂线刚好一举两得。然后就是大胆设参，根据 45∘45^\circ 直角三角形边长比和三线合一的性质倒边，形如：

简记过程

那么我们设 GC 为 x (设最短的避免出现分数) 易证 △DGC∼△AHC\triangle DGC \sim \triangle AHC
∴DCAC=GCHC=25=xHC\therefore \frac{DC}{AC}=\frac{GC}{HC}=\frac{2}{5}=\frac{x}{HC}
解得 HC=BH=52xHC=BH=\frac{5}{2}x（三线合一），HG=32xHG=\frac{3}{2}x，BG=DG=4xBG=DG=4x（等腰直角三角形的性质）
那么一空就搞定了，tan⁡∠ACB=DGGC=4\tan \angle ACB=\frac{DG}{GC}=4

个人思路-T2

给你一个等角，不是全等就是相似，花 epseps 秒瞪一下发现 ∠CED\angle CED 和 ∠ABD\angle ABD 所在的 △ABD\triangle ABD 和 △DCE\triangle DCE 既不相似也不全等（这里看似仙家对话，实际上熟练了 epseps 秒就看出来了）。那么就一定是倒角，这里有个非常重要的
先猜后证
大胆猜想，小心求证
倒角要带着目的性倒才能更快，所以要先猜,猜想 △DBE∼△DCE\triangle DBE \sim \triangle DCE （这里看似仙家对话，实际上熟练了 epseps 秒就看出来了）。由于有一组共角，我们只需倒另一个角即可，我在证明过程中喜欢倒小角，所以我们倒 ∠CDE=∠DBE=45∘\angle CDE=\angle DBE=45^\circ 即可，哦对了，倒角你需要：
  • 三角形内角和
  • 三角形外角定理
  • 设参
  • 八字模型
经验
如果倒角实在倒不出来，不用怀疑方法是错的，你想另外想一个（方法）也行，但时间紧迫，填空题直接顺着思路往下做就行了，解答题的话你就默认你倒出来了，直接用就行，反正中考是按点给分，只要不是特别关键的倒角（或简单），顶天扣你 11，22 分
我们开始倒角吧：首先因为 △ABC\triangle ABC 等腰，所以有 ∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB。然后我们需要充分利用两组等角，让其对我们证明的角产生关系。
∴∠ABC=∠ACB=∠ABD+∠DBC\therefore \angle ABC=\angle ACB=\angle ABD+\angle DBC
又 ∵∠ACB=∠CDE+∠CED\because \angle ACB=\angle CDE+\angle CED
且∠CED=∠ABD\angle CED=\angle ABD
∴∠DBC=∠CDE\therefore \angle DBC=\angle CDE 故 △DBE∼△DCE\triangle DBE \sim \triangle DCE
完美！ 接下来就是一系列美妙绝伦（惨无人寰）的计算了
害怕您看不到图
首先我们将 xx 求出来，对于 RT△DGCRT\triangle DGC:
DG2+GC2=DC2DG^2+GC^2=DC^2
∴x2+(4x)2=4\therefore x^2+(4x)^2=4 解得 x=GC=21717x=GC=\frac{2 \sqrt{17}}{17},DG=81717DG=\frac{8\sqrt{17}}{17}
∴BC=5x=101717\therefore BC=5x=\frac{10\sqrt{17}}{17}，BD=2BG=103417BD=\sqrt{2}BG=\frac{10\sqrt{34}}{17}
相似射影定理地得DE2=CE×BE(CE+BC（101717））DE^2=CE \times BE(CE+BC（\frac{10\sqrt{17}}{17}））
又我们知道相似比 BDDC=DECE=53417\frac{BD}{DC}=\frac{DE}{CE}=\frac{5\sqrt{34}}{17} 有DE=53417CEDE=\frac{5\sqrt{34}}{17}CE
带入射影定理的方程 解得 CE=2173CE=\frac{2\sqrt{17}}{3}

B23成都B填压轴-经典代数推理

每年都是，不过今年的太水了，相当于五年级小奥

B25平行四边形几何压轴

真正的压轴。

思路（仅 33 问）

对于一个平行四边形，或是对于两组平行边，我们一定想到类似倍长中线的想法，考虑将 EQ 延长，交 AD 于点 M。由于是平行我们易知有 △EQC∼△DQM\triangle EQC \sim \triangle DQM,然后我们发现除了我们构造的还有很多组平行相似，根据条件设参，然后一组组倒比例式即可，计算过程就不给了无意义（可以自己练练计算 但是真的很难算
答案（建议自己算一遍再看哦
2n+16n+6\frac{2n+1}{6n+6}
延 EQ 也行
我去，不早说
用一下角平分线的二级结论好像直接秒了用一下角平分线的二级结论好像直接秒了

B26二次函数压轴

其实很简单。你需要意识到一个性质，即被垂直于 yy 轴的直线平分的的角两边斜率互为相反数，我们可以向平分线做垂线来证，列方程即可，最后注意可以用韦达定理减少一点计算，纯水题

总结

今年成都的创新是有的，但是难度很偏简单,而且B 卷的计算量成吨，我还是更喜欢去年的 2626，建议加强练习一下计算，还有以后的成都中考只会更难，不要轻敌了

结论

介于烂与不烂之间，参考分数 143143（自己参考的，自己 146146 错了道 B 填

重庆

非常有讲头的一张卷子，很难

9-选择几何压轴（WTF 吓哭了

需要知道一个前置定理，选填可以直接用：
12345定理
若 tan⁡∠1=12,tan⁡∠2=13\tan \angle 1=\frac{1}{2},\tan \angle 2=\frac{1}{3}，则 ∠1+∠2=45∘\angle 1+\angle2=45^\circ
不知道的话感觉完全不可做,知道也不可做

思路

两个角平分线的交点，H 一定为 △AGD\triangle AGD 的内心，所以同样有 GH 平分 ∠AGD\angle AGD。另外由翻折不难得知，DE 平分 ∠GDC\angle GDC。所以 ∠HDE=45∘\angle HDE=45^\circ。由于翻折前后图形全等，那么：
∴DC=DF=2,EC=EF=12BC=1\therefore DC=DF=2,EC=EF=\frac{1}{2}BC=1
∴tan⁡∠GDE=EFDF=12\therefore \tan \angle GDE=\frac{EF}{DF}=\frac{1}{2}
后面就是一通倒角，然后运用结论，还疑似出现了 22 倍角公式，我也知道个大概，所以不敢乱讲就跳过了，可能是我太菜了（据说不难）

10-经典代数推理

重庆很爱考，跟成都B23差不多 二项式定理纯 xjb 扯
首先我们要区分一下正整数和自然数，简单来说，正整数不含 00，而自然数含，所以我们就有 an≥1a_n \ge1，由于 n+an+an−1∼a0=5n+a_n+a_{n-1}\sim a_0=5，所以 n≤4n\le 4，我们考虑分讨。
  1. n=4n=4 时，有 4+a4+a3+a2+a1+a0=54+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=5，又因为 an≥1a_n\ge1，所以 a4=1,a3=a2=a1=a0=0a_4=1,a_3=a_2=a_1=a_0=0，此时只可能有一个单项式：x4x^4（由M的定义得）。
  2. n=3n=3 时，有 3+a3+a2+a1+a0=53+a_3+a_2+a_1+a_0=5，(a3,a2,a1,a0)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)(a_3,a_2,a_1,a_0)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)，那么 M=2x3,x3+x2,x3+x,x3+1M=2x^3,x^3+x^2,x^3+x,x^3+1。
  3. n=2n=2 时，有 2+a2+a1+a0=52+a_2+a_1+a_0=5，则 (a2,a1,a0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1)(a_2,a_1,a_0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1)，M=3x2,2x2+x,2x2+1,x2+2x,x2+2,x2+x+1M=3x^2,2x^2+x,2x^2+1,x^2+2x,x^2+2,x^2+x+1。
  4. n=1n=1 时，有 1+a1+a0=51+a_1+a_0=5，则 (a1,a0)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)(a_1,a_0)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)，M=4,x+3,2x+2,3x+1,4xM=4,x+3,2x+2,3x+1,4x。
然后直接选即可，对于 A，数一下得确实有 55 个，正确。
对于 B，我们发现确实不存在，也正确。
对于 C，数一下的有 1616 个故正确。
所以选 D

填空倒二-15题

这题就完全靠经验了。 有一个很重要的习惯：边看边求
看到 AB⊥CDAB\perp CD，一定是想到垂径定理，那么就有 CG=GFCG=GF；其次，又有直角，又有 5,125,12 这样的勾股数，又有垂径定理推等腰的结论，一举三得，所以我们很容易可以想到连接 AFAF。
此时 ∵∠AGF=90∘∴AG2+GF2=AF2\because \angle AGF=90^\circ \therefore AG^2+GF^2=AF^2
我们可以用勾股数简化运算，由于这是填空题所以可以直接得 AF=13AF=13（当然解答题也可以用，但是过程还是要假吧意思写一下）。很显然，AC=AFAC=AF（三线合一推等腰）。
巧了！由于 ACDEACDE 是菱形，∴CD=AC=13\therefore CD=AC=13 ∴DF=CD−CF=CD−2×GF=3\therefore DF=CD-CF=CD-2\times GF=3

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