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飞飞雨烟雁
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@miqzagzr
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2025/12/04 13:11
3 个月前
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2025/12/04 13:11
3 个月前
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前言

自去年 10 月起，我着手创建了一项名为数学杂记的个人记录，用于收集有趣的数学定理，并记录自己的一些成果。经过一年的积累，记录条数已近 150 条，却也给内容检索带来困难。在鱼鱼的建议下，我觉得一个检索目录很有必要。
经过整理，我将数学杂记的内容分为四大类，内含若干小类：
  1. 数论：初等数论 1A、解析数论 1B、代数数论 1C、超越数论 1D；
  2. 分析：数学分析 2A、复变函数 2B、特殊函数 2C、微分方程 2D；
  3. 代数：高等代数 3A、近世代数 3B、点集拓扑 3C、其他代数 3D；
  4. 杂项：组合数学 4A、级数 & 积分 4B、生成函数或 OI 类 4C。
在每一小类之下，都会列出与这个小类有关的所有条目，即便某个条目涉及了多个小类。为便于读者快速定位信息，我为每个条目都添加了跳转链接，并标注了相应的 Tag。星号 ⭐ 用于标注推荐阅读的内容。
此外，本 Blog 也作为数学杂记的一个互动平台，欢迎读者对杂记内容提出宝贵意见（如笔误、伪证、疑问或建议）。当然，我更建议您通过 QQ(1010850347) 等方式反馈。
最后，本 Blog 可能无法做到及时更新。若想获取最新内容，请在数学杂记目录中查看。
目前已更新到第 194 条。

1. 数论

1A. 初等数论

初等数论是用初等方法研究整除、同余等主题的数学分支。
49. 简单数论问题 I 佩尔方程
51. Fermat 的第二个梦想 椭圆曲线 无穷递降法 ⭐
65. How to AKIMO? 素数
66. Dirichlet 定理之二次弱化版 升幂引理 素数 ⭐
71. Bertrand 假设 素数 组合数 ⭐
80. 分圆多项式的不可约性 最小多项式
81. Erdős 对素数倒数和发散的初等证明 素数 ⭐
102. 神秘数论题 素数 Zsigmondy 定理
108. 分圆多项式的系数 素数
112. 简单数论题 阶乘
133. Wolstenholme 定理 素数 阶乘
141. 数字均分 数学归纳法
151. 并非神秘数论题 欧拉函数
153. Erdős–Ginzburg–Ziv Theorem 有限域 零和子集 ⭐
155. 互质 + s 的 gcd 和 欧拉函数
157. 和为定值、异或为零的三元组数 二进制
162. 费马二平方定理的巧证 素数 映射 ⭐
167. AKHIMO 的数列整除题 生成函数 素数
177. Dyson 猜想 多项式 组合数 ⭐
178. Fibonacci in Putnam 素数 阶乘
179. 注意力训练 II 构造
180. Fibonacci in AKHIMO 多项式
189. 同余覆盖的一个判定定理 同余覆盖

1B. 解析数论

解析数论是用分析方法解决数论问题的数学分支，其中对素数的研究尤为突出。
14. 约数个数前缀和的简单展开 广义积分 调和级数
18. Shapiro 陶伯型定理 估阶
20. Shapiro 与 Mangoldt 素数
24. Mertens 第一定理 素数
25. Mertens 第二定理 素数
26. Mertens 第三定理 素数 ⭐
30. 一些 Lambert 级数 Dirichlet 卷积
31. 好点的因数个数前缀和估计 估阶
32. 因数个数的 DGF 求和渐进式 估阶 黎曼 Zeta 函数
33. 欧拉函数的 DGF 求和渐进式 估阶 黎曼 Zeta 函数
36. ϑ\vartheta 与 ψ\psi 素数
48. PN 个数渐进表达式 Powerful Number
82. 四平方和表示方案数 四平方和定理 q 级数 ⭐
85. 首一素多项式的倒数和发散 有限域 素多项式
90. 约数和的前缀和与取模前缀和 极限
92. Binet's Second Log Gamma Formula 伽马函数
110. 素数个数近似公式 黎曼 Zeta 函数 素数 ⭐
119. Riemann Zeta 函数的解析延拓 傅里叶展开 黎曼 Zeta 函数 ⭐
123. Squared Mobius Log Sum I 黎曼 Zeta 函数
124. Squared Mobius Log Sum II 黎曼 Zeta 函数
125. 约数个数平方和 黎曼 Zeta 函数 估阶 ⭐
154. 拉马努金 Tau 函数模 2 性质 模形式 q 级数

1C. 代数数论

代数数论是研究代数整数环、代数数域的数学分支。
50. Fermat 的第一个梦想 椭圆曲线
54. Fermat 的第三个梦想 高斯整数环
55. Fermat 的第四个梦想 高斯整数环
165. 局部化的应用 域扩张 整闭包
185. 素理想分解 Dedekind 整环
186. 类数计算一例 Dedekind 整环
187. 判别式定理 分歧 素理想

1D. 超越数论

超越数论是研究超越数的数学分支。
116. ee 的超越性 超越数 ⭐
117. 刘维尔逼近定理 代数数 有理逼近
147. 非零有理数的 tan⁡\tan 值不是有理数 无理数 三角函数

2. 分析

2A. 数学分析

数学分析是以极限为基础的，以欧氏空间上的函数为研究对象的数学分支。
16. 一个阶的估 阶乘 Glaisher-Kinkelin Constant
27. arcsin⁡2x\arcsin^2 x 的泰勒展开式 泰勒级数 组合数
28. Weierstrass 逼近定理 连续函数 多项式
37. 洛必达一个特殊情况的结论 极限
44. exe^x 的帕德逼近 帕德逼近 ⭐
45. tan⁡x\tan x 的泰勒展开式推导 泰勒级数
46. π\pi 的一条简单等式（Machin 公式） 反三角函数
59. 推广 Young 不等式 积分
60. Fejér - Jackson 不等式 三角函数
61. 新鲜出炉的不知道背景是什么的数分题 正交多项式
72. 注意力训练 比较大小
86. Wirtinger 不等式与等周不等式 数学分析 傅里叶展开 变分法 ⭐
91. arcsin⁡nx\arcsin^n x 的展开式 泰勒级数 Lagrange 反演
104. 真是开开又闭闭啊 多元微分 欧氏拓扑
109. 对数积分的级数展开 泰勒级数
126. 欧氏空间上的 Tietze 扩张定理 连续延拓 欧氏拓扑
127. Peano 型曲线的构造 连续延拓 欧氏拓扑
130. Faà di Bruno Formula 复合函数 组合数
131. 实解析函数的复合仍是实解析的 I 实解析 泰勒级数
132. 实解析函数的复合仍是实解析的 II 实解析 泰勒级数
135. 复合的复合的极限 极限 复合
137. 又是压轴积分题 广义积分 卷积
138. 出乎意料的概率应用 广义积分 卷积 容斥 ⭐
142. Determinant of Toeplitz - Fourier Matrix 行列式 傅里叶展开
143. Szegő Theorem 行列式 傅里叶展开 正交化 ⭐
149. Bohr-Mollerup Theorem 伽马函数 ⭐
163. 可积函数复合连续函数不一定可积 欧氏拓扑 反例
171. How to AKCMC? 连续函数 聚点
190. 巴塞尔问题的初等证明 级数 三角函数 ⭐

2B. 复变函数

复变函数是研究复值函数的数学分支。
11. 乱搞换元积分 泊松积分
35. 黎曼 zeta 函数的洛朗级数 黎曼 Zeta 函数
64. 留数 I 留数定理 级数
118. Poisson 求和公式 傅里叶展开
119. Riemann Zeta 函数的解析延拓 傅里叶展开 黎曼 Zeta 函数 ⭐
120. 十分好玩的级数哦 傅里叶展开 模形式 ⭐
143. Szegő Theorem 行列式 傅里叶展开 正交化 ⭐
144. 神秘级数的关系：Complex Free 三角函数 级数 ⭐
194. Schottky 定理 双曲度量

2C. 特殊函数

此处的特殊函数包括 Gamma 函数，Digamma 函数，以及 q 级数等。
8. 上高代课乱推的 黎曼 Zeta 函数 伽马函数 调和级数
39. Jacobi 三重积恒等式 q 级数 无穷乘积 ⭐
56. 蕴含错排数的积分式 错排数 积分
76. 三重 Li2 恒等式 多重对数函数
82. 四平方和表示方案数 四平方和定理 q 级数 ⭐
92. Binet's Second Log Gamma Formula 伽马函数
95. erf 相关级数 伽马函数 误差函数
106. Legendre 倍量公式 伽马函数
107. Gamma 函数连乘形式 伽马函数
119. Riemann Zeta 函数的解析延拓 傅里叶展开 黎曼 Zeta 函数 ⭐
128. 伯努利数广义和 广义求和 解析延拓
149. Bohr-Mollerup Theorem 伽马函数 ⭐
150. Gauss-Legendre Multiplication Formula 伽马函数
154. 拉马努金 Tau 函数模 2 性质 模形式 q 级数
156. 因子和的卷积式 模形式
159. Kummer 公式：LogGamma 函数的傅里叶展开 伽马函数 傅里叶展开 黎曼 Zeta 函数
168. Binet's Log Gamma Formula 与阶乘渐近展开 伽马函数 阶乘

2D. 微分方程

微分方程是研究未知函数及其导数构成的方程的数学分支。
83. 手撕 ODE：arcsin⁡3x\arcsin ^3x 的级数展开 微分有限 泰勒级数
140. Ascoli - Arzelà 定理（一半） 等度连续 对角线证明

3. 代数

3A. 高等代数

高等代数是研究多项式、矩阵、线性映射等的数学分支。
9. 多项式辗转相除的妙解 裴蜀定理 组合数
34. 与数论有关的行列式计算 行列式 Dirichlet 卷积
58. 行列式求导 行列式 迹
79. LGV 引理的简单应用 行列式 网格路径 ⭐
80. 分圆多项式的不可约性 最小多项式
84. 哇！ 线性映射
88. 状态集递推定理 线性递推
89. 三元数为什么不存在？ 线性映射 特征根
142. Determinant of Toeplitz - Fourier Matrix 行列式 傅里叶展开
143. Szegő Theorem 行列式 傅里叶展开 正交化 ⭐
161. 多项式版本的 abc 猜想和费马大定理 多项式
164. 正整数的分数次幂的线性无关性 最小多项式 域扩张
166. AKHIMO 的集合交并题 有限域 线性代数 ⭐
170. 首一多项式的最大模的最小值 数值分析 Chebyshev 多项式
173. SLn(Z/mZ)\text{SL}_ n(\mathbb Z/m\mathbb Z) 的大小 有限域 特殊线性群
174. 结式的秩 线性映射
177. Dyson 猜想 多项式 组合数 ⭐
184. 多元多项式有无穷个零点 代数几何 多项式

3B. 近世代数

近世代数是包含群论、环论、域论的数学分支。
67. Cayley 定理 对称群
68. 抽象代数习题 I 正规子群
69. Cauchy 定理 元素的阶 素数
70. 抽象代数习题 II 正规子群 Abel 群
73. Kaplansky 定理 环论 逆元 ⭐
75. 抽象代数习题 III 环论 理想
77. 抽象代数习题 IV 环论 理想
136. 低阶单群的类型 单群 Sylow 定理
139. Cartan–Brauer–Hua 定理 除环 中心 ⭐
146. 有限除环必为域 除环 分圆多项式 域论 ⭐
152. Chevalley-Warning Theorem 有限域
153. Erdős–Ginzburg–Ziv Theorem 有限域 零和子集 ⭐
169. Z/nZ\mathbb Z/n\mathbb Z 的单位群的结构 生成元 直积
172. 三次多项式的 Galois 群 Galois 理论
176. 循环数的等价条件 循环群 欧拉函数 ⭐
191. 对称群的 Sylow p-子群计数 圈积
192. 域论习题三则 域论
193. 正规基定理 Galois 理论

3C. 点集拓扑

点集拓扑是研究拓扑空间基本性质的数学分支。
43. 点集拓扑习题 I 连续映射
47. 点集拓扑习题 II 生成基

3D. 其他代数

包含交换代数、同调代数以及表示论等。
114. 交换代数习题 I 分式环
115. 过于想当然了 有限生成模 反例
165. 局部化的应用 域扩张 整闭包
181. Hom\text{Hom} 与正合列 模论
182. 蛇形引理 模论 同调代数 ⭐
188. 表示论习题 I 酉矩阵

4. 杂项

4A. 组合数学

组合数学是研究离散对象的学科。
79. LGV 引理的简单应用 行列式 网格路径 ⭐
88. 状态集递推定理 线性递推
98. Erdős-Anning Theorem 整点 ⭐
99. 上一条的变体 整点
103. 我还以为 Θ(n)\Theta(\sqrt n) 呢 估阶
122. Happy End Problem (Easy Version) 凸包
129. 奇怪的等式 整数分拆
134. 两个随机置换的概率问题 实解析 生成函数
138. 出乎意料的概率应用 广义积分 卷积 容斥 ⭐
153. Erdős–Ginzburg–Ziv Theorem 有限域 零和子集 ⭐
158. 无法企及的高度 Checkers ⭐
166. AKHIMO 的集合交并题 有限域 线性代数 ⭐

4B. 级数 & 积分

该小类用于收纳众多级数、积分问题的条目。
1. 调和级数交错和 级数 调和级数
2. 简单积分题 I 广义积分
3. 简单积分题 II 多重积分
4. 上一题的小应用 极限 级数
5. 似乎是伪椭圆积分的东西 不定积分
6. 一道神奇的极限题 极限 调和级数 阶乘
10. Laplace 变换一例 拉普拉斯变换
12. 简单积分题 III 含参积分 级数
13. 简单积分题 IV 含参积分 级数
15. 简单积分题 V 含参积分 级数
17. 余元公式的两条推论 伽马函数
19. 第 17 条中猜想的证明 伽马函数
21. 不简单积分题 I 广义积分 反射公式
21. 简单积分题 VI 含参积分
22. 强行费曼 含参积分
23. 用积分化简和式 组合数 Beta 积分
29. 简单积分题 VII 不定积分
41. 不简单积分题 II 伽马函数
42. 不简单积分题 III 二进制 级数
52. 乱推的积分式 无穷乘积
53. 模 33 特征的级数 级数 Dirichlet 生成函数
56. 蕴含错排数的积分式 错排数 积分
57. 不简单积分题 IV 伽马函数
62. 我超！这也能积？！ 含参积分
63. Magic！ 级数
74. 简单积分题 VIII 含参积分
87. 和式化积分的处理方法 调和级数
93. 不简单积分题 V 伽马函数
94. 卡塔兰常数相关式 积分 级数
96. 不简单积分题 VI 级数
100. 近期一道热门级数题的解答 级数 中专
105. 单位矩形随机两点的距离期望 期望 多元积分
111. 神奇的数论积分式 傅里叶展开 ⭐
120. 十分好玩的级数哦 傅里叶展开 模形式 ⭐
121. 欧拉托梦告诉我的 含参积分
144. 神秘级数的关系：Complex Free 三角函数 级数 ⭐
145. 不简单积分题 VII 期望 高维球
148. 不简单积分题 VIII 积分 傅里叶展开
160. Malmsten 积分 伽马函数
190. 巴塞尔问题的初等证明 级数 三角函数 ⭐

4C. 生成函数或 OI 类

该小类用于收纳生成函数相关、或与 OI 相关的条目。
7. 求和式与生成函数题 I 生成函数 组合数
38. 一条组合恒等式 组合数 Lagrange 反演
40. 欧拉五边形数定理 分拆数 生成函数
78. 硬要丁真，鉴定为：拉了依托史 Lagrange 反演
91. arcsin⁡nx\arcsin^n x 的展开式 泰勒级数 Lagrange 反演
97. Elegant Harmonic 下降幂 调和级数 ⭐
101. 好神奇的恒等式 生成函数 对角形求和 ⭐
113. Chebyshev 多项式相关 多项式
134. 两个随机置换的概率问题 实解析 生成函数
167. AKHIMO 的数列整除题 生成函数 素数
175. xor and lowbit 异或
183. 秩为 kk 的矩阵的非零元素个数期望 q 级数 有限域

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