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【数论】同余
C
C4LLM3GUA
2025/02/01 16:10
学习·文化课
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2025/12/04 02:49
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2025/12/04 02:49
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同余
同余的定义
若
m
∈
N
+
m \in \mathbb{N^+}
m
∈
N
+
，
a
,
b
∈
Z
a,b \in \mathbb{Z}
a
,
b
∈
Z
，如果
m
∣
a
−
b
m \mid a-b
m
∣
a
−
b
，则称
a
,
b
a,b
a
,
b
同余模
m
m
m
，记作
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
a \equiv b \ (mod \ m)
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
；反之，若
m
∤
a
−
b
m \nmid a-b
m
∤
a
−
b
，则称
a
,
b
a,b
a
,
b
不同余模
m
m
m
，记作
a
≢
b
(
m
o
d
m
)
a \not\equiv b \ (mod \ m)
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
。
注：
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
⇔
m
∣
a
−
b
⇔
a
=
b
+
q
m
a \equiv b \ (mod \ m) \Leftrightarrow m \mid a-b \Leftrightarrow a=b+qm
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
⇔
m
∣
a
−
b
⇔
a
=
b
+
q
m
，其中
q
∈
Z
q \in \mathbb{Z}
q
∈
Z
。
同余的基本性质
a
≡
a
(
m
o
d
m
)
a \equiv a \ (mod \ m)
a
≡
a
(
m
o
d
m
)
（反身性）；
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
⇔
b
≡
a
(
m
o
d
m
)
a \equiv b \ (mod \ m) \Leftrightarrow b \equiv a \ (mod \ m)
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
⇔
b
≡
a
(
m
o
d
m
)
（对称性）；
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
,
b
≡
c
(
m
o
d
m
)
⇔
a
≡
c
(
m
o
d
m
)
a \equiv b \ (mod \ m),b \equiv c \ (mod \ m) \Leftrightarrow a \equiv c \ (mod \ m)
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
,
b
≡
c
(
m
o
d
m
)
⇔
a
≡
c
(
m
o
d
m
)
（对称性）。
同余的性质
若
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
,
c
≡
d
(
m
o
d
m
)
a \equiv b \ (mod \ m),c \equiv d \ (mod \ m)
a
≡
b
(
m
o
d
m
)
,
c
≡
d
(
m
o
d
m
)
：
a
+
c
≡
b
+
d
(
m
o
d
m
)
a+c \equiv b+d \ (mod \ m)
a
+
c
≡
b
+
d
(
m
o
d
m
)
；
a
−
c
≡
b
−
d
(
m
o
d
m
)
a-c \equiv b-d \ (mod \ m)
a
−
c
≡
b
−
d
(
m
o
d
m
)
；
a
c
≡
b
d
(
m
o
d
m
)
ac \equiv bd \ (mod \ m)
a
c
≡
b
d
(
m
o
d
m
)
；
若
a
b
≡
a
c
(
m
o
d
m
)
ab \equiv ac \ (mod \ m)
ab
≡
a
c
(
m
o
d
m
)
，则
b
≡
c
(
m
o
d
m
(
a
,
m
)
)
b \equiv c \ (mod \ \dfrac{m}{(a,m)})
b
≡
c
(
m
o
d
(
a
,
m
)
m
)
；
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