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原递推式（对 $n\ge3$）：

两边同乘以 $S_{n-2}S_{n-1}b_n$ 得（对所有适用的 $n$）：

把上式中的下标整体加 $1$（这仍然是同一类恒等式，只是下标平移），得到（对所有适用的 $n$）

现在定义一个便于观察的量

可解出 $S_n$：

把这个表达代入 $T_n$：

而 $T_{n-1}=\dfrac{S_{n-1}}{b_{n-1}b_n}$。因此对任意适用的 $n$ 恒成立

注意 $T_1$ 可直接计算：$S_1=b_1^2=1$，且 $b_1b_2=1$，所以

得 $T_2=\dfrac{1}{T_1}=1$。得 $T_3=\dfrac{1}{T_2}=1$，以此类推（不作“归纳假设”，而是直接观察到关系 $T_n=1/T_{n-1}$ 与初值 $T_1=1$ 联合立刻给出奇偶项的显式表达：$T_{2k-1}=T_1=1$, $T_{2k}=1/T_1=1$），因此对所有 $n$

即

立刻得到线性递推。因为

两边除以非零的 $b_n$（由初值各项为正可保证非零），得

连同初值 $b_1=b_2=1$，这就是斐波那契数列的定义。因此