指数函数与对数函数交点的探究

2025届T8联考偶见填空14题涉及到了此问题，觉得有必要重新整理以备后续查验。

问题如下：

a^x-\log_a{x} \ \text{在定义域上单调，求} \ a \ \text{的取值范围}

显然

a \neq 1

。

考虑画图：

当

a>1

时，根据两者反函数的图像差可知，该函数不可能单调。

当

a<1

时，考虑两者相切为临界条件。

下面考虑求出相切时的

a

的取值。

令

\left\{ \begin{array}{} a^x=\log_a{x} \\ a^x\ln a=\frac{1}{x\ln a} \end{array} \right.

考虑

a>1

x\ln a=\ln(\ln x)-\ln(\frac{1}{x\ln x}) \\ \frac{1}{\ln x}=2\ln(\ln x)+\ln x \\ x=e \\ a=e^{\frac{1}{e}}

考虑

a<1

x\ln a=\ln(-\ln x)-\ln(-\frac{1}{x\ln x}) \\ \frac{1}{\ln x}=2\ln(-\ln x)+\ln x \\ x=-e \\ a=e^{-e}

因此，解为

a\in [e^{-e},1)

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