题解：CF2135C By the Assignment

省流：给你一个无向联通简单图，图上某些点的点权（第 $i$ 个点的点权记为 $p_i$）已被固定，剩下的点权未知，对于同一个点对 $u,v$，从 $u$ 到 $v$ 的所有路径的点权异或和都是同一个值，求未知的点权有多少填充方式（保证点权 $\in[0,V)$）。

显然，如果图是树，那么树上的节点可以随便填权值，因为两两之间路径唯一。
然后考虑一般图。
首先，这题是性质题。
一个一个看性质。

【性质 1】
省流：任意一个长度为 $|R|$ 的环 $R$ 上随便剖出一条长为 $|R|-2$ 的链，链的异或和都是 $0$。

不难发现，若 $u,v$ 之间有连边，并且其还有其他路径可互相到达的话，就会构成一个环。
由于同一个点对 $u,v$，从 $u$ 到 $v$ 的所有路径的点权异或和都是同一个值，所以说 $p_u\oplus p_v$ 的值等于 $p_u\oplus p_v$ 再异或上环上所有其他节点的异或和。
这就意味着环上所有其他节点的异或和是 $0$。
对于这个环上的任意相邻点对来说都是一样的，所以这个性质得证。

【性质 2】
省流：任意环的异或和都是 $0$。

相当于把性质一做了推广。
如果环 $R$ 的异或和不是零，又因为性质一，所以这意味着每一个相邻点对的异或和都不是 $0$。
但是，你考虑环上两个点 $u,v$ 之间隔了一个点 $c$ 的情况，那么显然 $p_c$ 等于环上 $u,v,c$ 的补的异或和。
我们让 $p_c$ 和环上 $u,v,c$ 的补同时异或上 $p_u$，显然环上 $u,v,c$ 的补会和 $u$ 构成一条长为 $|R|-2$ 的链，异或和为零。
然而 $p_c\oplus p_u$ 根据前面的反设，不是 $0$，所以得到矛盾。
因此任意环的异或和都是 $0$。

【性质 3】
省流：任意奇环上的所有点权都是 $0$。

首先，根据性质 2，显然奇环上的所有点点权都相等。
所以只能全都是 $0$，因为是奇数个。

【性质 4】
省流：任意偶环上的所有点权都相等。

这个反证一下也是挺显然的。

有了这几个性质，答案呼之欲出。
就是对原图跑 Tarjan 求出每一个边双连通分量。
为啥，因为边双连通分量本质上就是一堆环的并。
对于每一个边双联通分量，如果不是二分图，那么这个边双上所有点都是 $0$。
如果是二分图，那么这个边双上所有点权都相等。
判二分图就是找奇环，BFS 黑白染色即可。

最后，关于已经钦定点权的点，那个其所在的整个边双的点权都与它相等。（除非它不是 $0$ 但是其所在边双有奇环，此时原图不合法，填充方案数为 $0$）
没有钦定的就乘法原理即可。
所以最终答案是 $V$ 的没被钦定的二分图边双个数次方。（好绕）