今天我们来证明一个美妙的公式：

\Huge\cfrac{\pi}{2}=\cfrac2 1\sdot\cfrac2 3\sdot\cfrac4 3\sdot\cfrac4 5\sdot\cfrac6 5\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot

好，现在开始证明！！！

我们可以先造出

sin(x)

的连乘式：

众所周知

sin(x)

的零点有

\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot

当然-------------------

A\sdot sin(x)

也一样~

所以

Asin(x)=\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot(x+2\pi)(x+\pi)x(x-\pi)(x-2\pi)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\应用平方差公式 \\Asin(x)=x(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\\移项\\\ \cfrac{\sin(x)}x=\cfrac{(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}A \\取极限 \\\lim_{x\rarr0}\cfrac{\sin(x)}x=\lim_{x\rarr0}\cfrac{(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}A \\众所周知\lim_{x\rarr0}\cfrac{\sin(x)}x=1 \\所以A=(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot在x=0时的值 \\=(-\pi^2)(-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\带入\\\cfrac{\sin(x)}x=\cfrac{(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}{(-\pi^2)(-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}\\一一对应\\\cfrac{\sin(x)}x=(1-\cfrac {x^2}{\pi^2})(1-\cfrac {x^2}{2^2\pi^2})\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\\应用平方差公式 \\\cfrac{\sin(x)}x=(1-\cfrac x{\pi})(1+\cfrac x{\pi})(1-\cfrac x{2\pi})(1+\cfrac x{2\pi})\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \\代入x=\cfrac\pi2并取倒数 \\\cfrac\pi2=\cfrac2 1\sdot\cfrac2 3\sdot\cfrac4 3\sdot\cfrac4 5\sdot\cfrac6 5\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot