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概率与期望：不要跳进赌徒心理的深坑！

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2025/12/02 03:23
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前言

作为一位退役老登，在做一道生物选择题时，发现以下表述：
  • 通过提高女性在人口中的比例，控制人口增长率。
额额额后半句不是我要谈论的重点，我们来想如下问题：
  • 怎么提高女性在人口中的比例？
欸嘿，身为一名学过 OI 的蒟蒻，直觉告诉我根本不会有办法能够真正改变性别比例的期望。
这让我联想起赌徒心理，其本质就是被概率与期望掌控了。看如下问题：
  • 连续抛 5050 次硬币，已知前 4949 次都是正面朝上，现在抛最后一次，更有可能是哪个面朝上？
作为一个 OIer，你会很快发现，正反面概率依旧均等，可是，当我们真的进入了赌的情境中，赌徒心理就会作祟，直觉会告诉我们最后一次总该是反面朝上了。
这篇文章将结合几个生动的例子展开与赌徒心理有关的讨论。

正文

三门问题：学会用“上帝视角”解决概率问题，辨识有效信息

如果你还不知道什么是三门问题，请你点我
这个问题和抛硬币可不一样。
额额额根据呕象的德性，我把情景改为呕象站在一扇门后，你要找到呕象站的门。
从上帝视角来看，游戏过程分为两步：
  1. 选手选门；
  2. 主持人打开没有呕象的一扇门，选手可以换一扇门。
如果只有第一步，三扇门是等价的，找到呕象的概率为 13\frac{1}{3}。
但第二步的出现却出现了反直觉的结果：换门后找到呕象的概率飙升至惊人的 23\frac{2}{3}，这是为什么？
重点在于信息。
没错，信息改变了局面。第一步已然发生，我们可以在此时站在上帝视角冷静思考：
  • 如果我已经站在了呕象的门前，开的门没有任何信息量，三扇门依旧等价。
  • 如果我站在了空门前，开的门对我来讲就是一个信息：剩下那个门就是有呕象的门，有利于我找到呕象。
那么概率就能上升了嘻嘻。
总的来看，第二步带来的信息是有效的。

赌徒心理

事实上，在一些外在因素的影响下，身体分泌的激素会让我们把一些无效的信息误认为是有效的。
比如开头提到的抛硬币问题，前 4949 次的信息不会影响第 5050 次的结果，这些信息是无效的。
有很多事情，所传递的信息都是无效的。
我们开篇提的问题：
  • 怎么提高女性在人口中的比例？
这个问题就可以抽象成一个赌博问题：
  • 假如你有足够多的金币，进行一个赌博游戏，每次有 12\frac{1}{2} 的概率赢，不是赢就是输，可以投入 XX 枚金币，赢了金币数 +X+X，输了金币数 −X-X，你该怎么做才可以使你赌博的利润 >0>0？
设利润为 YY，你可能想过或者听过如下策略：
  1. 一直参加（投注为 11），直到赢了一把立刻停止。
  2. 一直参加（投注为 11），直到 Y>0Y>0 了立刻停止。
  3. 第一次投入 11 金币，如果失败，则投入之前所有投入的总量的两倍，直到赢了一把，立刻停止。
看起来可能都或多或少有点道理，但他们本质都是把硬币问题中的类似信息误认为有效信息，实则这些信息都是无效的：
  • 一直参加，直到赢了一把立刻停止。
从上帝视角看，这种策略的金币数变化会有如下可能：
  • +1+1，概率为 12\frac{1}{2}
  • −1,+1-1,+1，概率为 14\frac{1}{4}
  • −1,−1,+1-1,-1,+1，概率为 18\frac{1}{8}。
  • (−1)×(n−1),+1(-1)\times (n-1),+1，概率为 12n\frac{1}{2^n}。
那么期望 E(Y)=∑n=1∞(2−n)12n=2−2=0E(Y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (2-n)\frac{1}{2^n}=2-2=0。
这个信息的无效性还是很明显的，和扔硬币一模一样。
  • 一直参加（投注为 11），直到 Y>0Y>0 了立刻停止。
哇这个怎么看起来 E(Y)=1E(Y)=1 呢，因为结果总是 Y>0Y>0。
这是经典的赌徒心理：回本了就跑路。
但是回本的概率根本不是 11，我们可以用学过的走格子法来量化：
  • 从 (0,0)(0,0) 开始走，等概率从 (x,y)(x,y) 走到 (x+1,y+1)(x+1,y+1) 或 (x+1,y−1)(x+1,y-1)，求走到直线 y=1y=1 上的概率。
可以用反射容斥量化这个概率，然后求和后发现概率其实是 <1<1 的，在我们尝试回到 00 的时候也可能会输得更多。
  • 第一次投入 11 金币，如果失败，则投入之前所有投入的总量的两倍，直到赢了一把，立刻停止。
这是看起来最合理的办法，赢的概率可是 ∑12n=1\sum \frac{1}{2^n}=1。
可以明白赢的概率确实非常大，但是次数越小，利润越小，次数越高，成本越高。
现实生活中，我们的经济能力有限，那么这种方法一旦超过我们的经济能力，将会直接破产。
哎呀，反正用屁股都能想到怎么来期望都是 00，而赌徒心理就是要在输的时候想赢回来，赢的时候想赢的更多，不过在这种情况下赌徒心理的危害不能够体现的透彻。

启示（这其实才是呕象要写的正文）

无论如何，玩过的游戏是既定的事实，未玩的游戏是被期望掌控的未知，我们永远不可能找到一种在数学意义上稳赚不赔的方法，经营类博彩业的门店只需要稍稍得调一下这个获胜的概率，比如调成 25\frac{2}{5}，那么顾客的利润期望值必然是负数，这是一个商家必胜的大坑。
那么顾客就会因为各种原因跳进这个大坑，非常有效且强大的一种心理学及数学方法就是：
  • 幸存者效应。
生活中我们面对的不仅仅是赌徒问题，还有很多隐藏的三门问题，这有时比纯靠概率的赌徒问题更为恐怖，因为这有着一个非常致命的现象：
  • 信息差。

你很可能也是幸存者效应的受害者

只要样本够大，胜负的分布就会无限接近于概率，商家要做的就是不断扩大样本数量，只找出获利的那些顾客，用各种方法让其它顾客获得这些无效信息，这样顾客就会误判获胜的概率，从而误判利润的期望，加入这场“顾客必败”的游戏。
典型的例子：
  • 彩票。彩票店只会让你看见那些中了大奖的 0.0001%0.0001\%的人，却不会让你看见那 99.9999%99.9999\% 的因为彩票而亏钱的人，让你误以为：虽然中大奖的概率很小，但好像亏钱的概率也不会很大。
  • “高考状元”。在过去，一些中学通过“高考状元”的名号来宣传自己的学校，人们常常将“高考状元”等价于“这个学校的教学质量与环境一定很好”。可“高考状元”本就是一个多重概率共同影响的事情，学校在这个事件中的占比事实上应该没有其宣传所体现的占比那么高。这是利用幸存者效应误导大众的不良行为，所以这种现象也就被明令禁止了。
  • 信息学竞赛：你常常听到保送生的美好生活，感觉学信息学的有很多保送生，但静下心来想想：一年只有 5050 人拿信息学金牌，全国高考考生上千万，这概率不比中彩票低得多？加入信息学竞赛对你的升学期望 E(Y)E(Y) 是正值还是负值？你还可能听到某某某平常成绩一般，结果保送了，可这是数万人中屈指可数的案例，同样的事情发生在你身上的概率大还是你是秦始皇的概率大？

信息差无处不在，不要跳进你看不清的河流

如果三门问题变为：
  • 有两个选手甲和乙同时参加，主持人只对乙进行第二步，而甲不能得到任何信息。甲对此毫不知情。
那么乙将获得优势，如果进行很多次，乙必将遥遥领先。
没错，在很多事情上，你就是那个甲，例子如下：
  • 赌博与诈骗：真正的赌博形式十分复杂，主办方可以暗中作祟（即做老千）。就算没有老千，也必定有人会对规则研究的十分透彻。正常人相对于这些人来讲，永远会具有较大的信息差，却毫不知情，在情绪的加成下，就会跌入深渊。诈骗更是如此，其信息差十分庞大，如杀猪盘，可以利用信息差骗取大量钱财。
  • 信息学竞赛：弱省弱校的训练方式总是和强省强校的训练方式不同，那么信息差会导致强省强校的成绩必然比弱省弱校好。还有各种条件的差距，这些都是无法反驳的事实。如果你没有足够强大的资源，就一定要做好被信息差打败的准备。
  • 还有太多了，我要睡觉了，不写了。

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