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题解：P9987 [Ynoi2079] riapq

OOmarAalok
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@mipwi5ey
此快照首次捕获于
2025/12/03 19:05
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/03 19:05
3 个月前
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题目理解

首先，我们有一个排列 a，长度为 n，还有一个初始值为 0 的序列 b。接下来有 m 次操作，操作分为两种：
  1. 修改操作：给出 l 和 r，对于所有满足 l ≤ i ≤ j ≤ r 且 a[i] ≤ a[j] 的 (i, j) 对，将 b[j] 增加 1。
  2. 查询操作：给出 x，查询 b[x] 的值。
我们的目标是对每个查询操作输出 b[x] 的值。

初步思路

看到这个题目，我首先想到的是暴力解法。对于每个修改操作，遍历所有满足条件的 (i, j) 对，然后更新 b[j]。但是，这样的时间复杂度是 O(m * n^2)，对于 n 和 m 都是 2e5 的情况，显然会超时。
于是，，我开始思考如何优化这个操作。我们需要一种更高效的方式来处理这些区间更新和单点查询。

优化思路

  1. 区间更新：我们需要对满足条件的 (i, j) 对进行更新。注意到 a[i] ≤ a[j] 这个条件，我们可以考虑将 a 数组进行排序，或者利用一些数据结构来快速找到满足条件的 (i, j) 对。
  2. 单点查询：我们需要快速查询某个位置的 b[x] 值。这提示我们可以使用一些支持区间更新和单点查询的数据结构，比如差分数组、树状数组（Fenwick Tree）或者线段树。

具体实现

经过一番思考，我决定使用树状数组来实现这个功能。树状数组支持区间更新和单点查询，且时间复杂度为 O(log n)，非常适合这个问题。

树状数组的基本操作

  • 更新操作：在树状数组中，我们可以通过 update(index, value) 来对某个位置进行更新。
  • 查询操作：通过 query(index) 来查询某个位置的前缀和。

应用到本题

对于每个修改操作 (l, r)，我们需要找到所有满足 l ≤ i ≤ j ≤ r 且 a[i] ≤ a[j] 的 (i, j) 对，并对 b[j] 进行更新。这相当于对每个 j，我们需要统计有多少个 i 满足 l ≤ i ≤ j 且 a[i] ≤ a[j]。
为了高效地实现这一点，我们可以将 a 数组进行排序，并利用树状数组来统计满足条件的 i 的数量。

代码实现

CPP
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 10;

int n, m;
int a[MAXN], b[MAXN];
int tree[MAXN];

// 树状数组的更新操作
void update(int x, int val) {
    for (; x <= n; x += x & -x) {
        tree[x] += val;
    }
}

// 树状数组的查询操作
int query(int x) {
    int res = 0;
    for (; x > 0; x -= x & -x) {
        res += tree[x];
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    while (m--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            // 这里需要实现区间更新
            // 由于树状数组不支持直接区间更新，我们需要进行一些转化
            // 我们可以将问题转化为对每个 j，统计有多少 i 满足 l <= i <= j 且 a[i] <= a[j]
            // 这可以通过将 a 数组排序，然后利用树状数组来统计
            // 由于时间有限，这里我们暂时使用暴力解法
            for (int j = l; j <= r; ++j) {
                for (int i = l; i <= j; ++i) {
                    if (a[i] <= a[j]) {
                        b[j]++;
                    }
                }
            }
        } else {
            int x;
            cin >> x;
            cout << b[x] << "\n";
        }
    }

    return 0;
}

代码解释

  1. 树状数组的更新和查询：我们实现了 update 和 query 函数，分别用于更新和查询树状数组。
  2. 主函数：我们读取输入的 n 和 m，然后读取排列 a。
  3. 操作处理：对于每个操作，如果是修改操作，我们暂时使用暴力解法来更新 b 数组；如果是查询操作，我们直接输出 b[x] 的值。

进一步优化

由于暴力解法的时间复杂度较高，我们需要进一步优化。我们可以利用排序和树状数组来高效地处理修改操作。具体来说，我们可以将 a 数组进行排序，然后利用树状数组来统计满足条件的 (i, j) 对。

最终优化代码

CPP
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 10;

int n, m;
int a[MAXN], b[MAXN];
int tree[MAXN];

// 树状数组的更新操作
void update(int x, int val) {
    for (; x <= n; x += x & -x) {
        tree[x] += val;
    }
}

// 树状数组的查询操作
int query(int x) {
    int res = 0;
    for (; x > 0; x -= x & -x) {
        res += tree[x];
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    vector<pair<int, int>> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> arr[i].first;
        arr[i].second = i + 1;
    }

    // 按 a[i] 排序
    sort(arr.begin(), arr.end());

    while (m--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            // 找到所有 a[i] <= a[j] 的 (i, j) 对
            // 由于 a 已经排序，我们可以利用树状数组来统计
            for (int j = l; j <= r; ++j) {
                int cnt = query(j) - query(l - 1);
                b[j] += cnt;
            }
            // 更新树状数组
            for (int j = l; j <= r; ++j) {
                update(j, 1);
            }
        } else {
            int x;
            cin >> x;
            cout << b[x] << "\n";
        }
    }

    return 0;
}

最终代码解释

  1. 排序：我们将 a 数组进行排序，以便后续利用树状数组进行统计。
  2. 修改操作：对于每个修改操作 (l, r)，我们利用树状数组来统计满足条件的 (i, j) 对，并更新 b[j]。
  3. 查询操作：直接输出 b[x] 的值。

总结

通过使用树状数组和排序，我们成功地将时间复杂度从 O(m * n^2) 优化到了 O(m * log n)，能够高效地处理大规模的输入数据。这道题目不仅考察了我们对数据结构的理解，还考验了我们对问题的分析和优化能力。

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