基本不等式

前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式
$\forall a,b \in R,有$
$a^2+b^2\ge2ab$
当且仅当$a=b$时,等号成立
特别地，如果$a>0,b>0$我们用$\sqrt{a},\sqrt{b}$分别代替上式中的$a,b$，可得
$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$,
当且仅当$a=b$时，等号成立.
通常称该不等式为基本不等式($basic$ $inequality$).其中，$\frac{a+b}{2}$叫做正数$a,b$的算术平均数，$\sqrt{ab}$叫做正数$a,b$的几何平均数.
基本不等式表明：两个正整数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
上面通过考察$a^2+b^2\ge2ab$的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
要证$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$
只要证
$2\sqrt{ab}\le a+b----(1)$
要证(1),只要证
$2\sqrt{ab}-a-b\le0----(2)$
要证(2),只要证
$-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\le0----(3)$
要证(3),只要证
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0----(4)$
显然，(4)式成立，当且仅当$a=b$时，等号成立
只要将上述过程倒过来，就可以推出基本不等式了
几何证法，有兴趣的童鞋可以自行学习射影定理及垂径定理

(1)当$x>0$时，$4x+\frac{1}{x}$的最小值为 ，此时$x$=. (2)若$y=\frac{x^2+4x+9}{x+2}$($x>-2$),求$\min(y)$

(1)
$4x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{4x*\frac{1}{x}}=4$
$\min=4$

$4x+\frac{1}{x}=4$
$4x^2+1=4x$
$4x^2-4x+1=0$
$(2x-1)(2x-1)=0$
$x_1=x_2=\frac{1}{2}$
(2)
$y=\frac{(x+2)^2+5}{x+2}$
$y=x+2+\frac{5}{x+2}$
$x+2+\frac{5}{x+2} \ge 2\sqrt{x+2*\frac{5}{x+2}}=2\sqrt{5}$
$y\ge2\sqrt{5}$
$\min(y)=2\sqrt{5}$

已知$x,y$都是正数，求证：
(1)如果积$xy$为定值$P$，那么当$x=y$时，和$x+y$有最小值$2\sqrt{P}$
(2)如果和$x+y$等于定值$S$,那么当$x=y$时，积$xy$有最大值$\frac{1}{4}S^2$