专栏文章

拉格朗日乘数法与一个100元最值问题探究

bbmatrix
学习·文化课参与者 1已保存评论 0

文章操作

快速查看文章及其快照的属性，并进行相关操作。

当前评论
0 条
当前快照
1 份
快照标识符
@mip3m5c8
此快照首次捕获于
2025/12/03 05:36
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/03 05:36
3 个月前
查看原文

前言

主播备考羟基时遇到了这么一道题：
已知 9999 个实数 a1,a2,…,a99a_1,a_2,\dots,a_{99}，∀i,ai∈[−2,2]\forall i,a_i\in[-2,2]，∑i=199ai=0\sum\limits_{i=1}^{99}a_i=0，求 ∑i=199ai3\sum\limits_{i=1}^{99} a_i^3 的最大值。
答案给的方法是，构造局部不等式：x∈[−2,2]x\in[-2,2] 时，x3≤3x+2x^3\le 3x+2，当且仅当 x=2x=2 或 x=−1x=-1 时取等。然后我们有：
∑i=199ai3≤∑i=199(3ai+2)=99×2=198\sum_{i=1}^{99}a_i^3\le\sum_{i=1}^{99}(3a_i+2)=99\times 2=198
当且仅当 a1,a2,…,a99a_1,a_2,\dots,a_{99} 中有 3333 个为 22，6666 个为 −1-1 时取等号。故最大值为 198198。
然而这个取等条件看起来很凑巧，当元素个数变为 100100 个时就无法取到了。那么有没有方法能得到 n=100n=100 时的最大值呢？

偏导数

对于二元函数 f(x,y)f(x,y)，定义
lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
为 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处对 xx 的偏导数，在本文中，我们将其记作 fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)。类似地，我们也可以定义 fy(x0,y0)f_y(x_0,y_0)​。
例如，对于 f(x,y)=xy2f(x,y)=xy^2，有 fx(x,y)=y2,fy(x,y)=2xyf_x(x,y)=y^2,f_y(x,y)=2xy。
这容易推广到自变量更多的情况，不再赘述。

拉格朗日乘数法

对于多元函数 f:Rn→Rf:\R^n\rightarrow \R，我们要求在满足以下条件时的极值：
{φ1(x1,x2,…,xn)=0φ2(x1,x2,…,xn)=0…φm(x1,x2,…,xn)=0\begin{cases} \varphi_1(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\\ \varphi_2(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\\ \dots\\ \varphi_m(x_1,x_2,\dots,x_n)=0 \end{cases}
可以采用以下方法：
构造函数 L(x1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λm)=f(x1,x2,…,xn)+λ1φ1(x1,x2,…,xn)+λ2φ2(x1,x2,…,xn)+⋯+λmφm(x1,x2,…,xn)L(x_1,x_2,\dots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\lambda_1\varphi_1(x_1,x_2,\dots,x_n)+\lambda_2\varphi_2(x_1,x_2,\dots,x_n)+\dots+\lambda_m\varphi_m(x_1,x_2,\dots,x_n)， 令 LL 的每一维（共 n+mn+m 维）偏导数均为 00，解出的 (x1,x2,…,xn)(x_1,x_2,\dots,x_n) 就可能是 ff 的一个极值点。
如果上面的描述过于抽象，可以考虑 n=2,m=1n=2,m=1 的例子：
要求 f(x,y)f(x,y) 在 φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0 条件下的极值，构造 L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)，解方程组：
{Lx(x,y,λ)=0Ly(x,y,λ)=0Lλ(x,y,λ)=φ(x,y)=0\begin{cases} L_x(x,y,\lambda)=0\\ L_y(x,y,\lambda)=0\\ L_\lambda(x,y,\lambda)=\varphi(x,y)=0 \end{cases}
解出的 (x0,y0)(x_0,y_0) 就可能是 ff 的一个极值点。

求最值

显然极值点不一定是最值点，最值还可能在某些自变量取到边界值时取到，因此，要注意验证边界情况。

例题

已知 n=100n=100 个实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_{n}，∀i,ai∈[−2,2]\forall i,a_i\in[-2,2]，∑i=1nai=0\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=0，求 ∑i=1nai3\sum\limits_{i=1}^{n} a_i^3 的最大值。
设 f(a1,a2,…,an)=∑i=1nai3f(a_1,a_2,\dots,a_n)=\sum\limits_{i=1}^na_i^3，φ(a1,a2,…,an)=∑i=1nai\varphi(a_1,a_2,\dots,a_n)=\sum\limits_{i=1}^n a_i，则 L(a1,a2,…,an,λ)=∑i=1nai3+λ∑i=1naiL(a_1,a_2,\dots,a_n,\lambda)=\sum\limits_{i=1}^na_i^3+\lambda\sum\limits_{i=1}^na_i。
易知 Lai(a1,a2,…,an,λ)=3ai2+λ=0L_{a_i}(a_1,a_2,\dots,a_n,\lambda)=3a_i^2+\lambda=0，我们要解以下方程组：
{3a12+λ=03a22+λ=0…3an2+λ=0∑i=1nai=0\left\{ \begin{aligned} &3a_1^2+\lambda=0\\ &3a_2^2+\lambda=0\\ &\dots\\ &3a_n^2+\lambda=0\\ &\sum\limits_{i=1}^na_i=0 \end{aligned} \right.
则 ai=−3λa_i=\sqrt{-\dfrac3\lambda} 或 ai=−−3λa_i=-\sqrt{-\dfrac3\lambda}。记 t=−3λt=\sqrt{-\dfrac3\lambda}，t∈[0,2]t\in[0,2]。
又因为 ∑i=1nai=0\sum\limits_{i=1}^na_i=0，那么必然是 n2\dfrac n2 个 tt，n2\dfrac n2 个 −t-t。
在这种情况下，f(a1,a2,…,an)=0f(a_1,a_2,\dots,a_n)=0，显然这不是最大值，因此我们要考虑一些自变量取到边界时的情况。
显然取 −2-2 一定不优，因此设有 k (k∈N∗)k\,(k\in\N^*) 个自变量取到 22，在剩余的 n−kn-k 个自变量中，有 m (m∈N)m\,(m\in\N) 个 tt 和 n−m−kn-m-k 个 −t-t。
则
∑i=1nai=2k+mt+(n−m−k)(−t)=2k−(n−k−2m)t(1)∑i=1nai3=8k+mt3+(n−m−k)(−t)3=8k−(n−k−2m)t3(2)\begin{aligned} &\sum_{i=1}^na_i=2k+mt+(n-m-k)(-t)=2k-(n-k-2m)t&(1)\\ &\sum_{i=1}^na_i^3=8k+mt^3+(n-m-k)(-t)^3=8k-(n-k-2m)t^3&(2) \end{aligned}
换元令 s=n−k−2ms=n-k-2m，考虑一下 kk 和 ss 的范围：
首先 m=−12(s+k)+n2∈[0,n−k]m=-\dfrac12(s+k)+\dfrac n2\in[0,n-k]，解得 k−n≤s≤n−kk-n\le s\le n-k。
又由于 (1)(1) 式为 00，所以 t=2ks∈[0,2)t=\dfrac{2k}s\in[0,2)，解得 k<sk<s​。
所以 k<s≤n−kk<s\le n-k。
我们要求的 (2)(2) 式可化为 8k−st3=8k−2kt2=(8−2t2)k8k-st^3=8k-2kt^2=(8-2t^2)k，我们要求这个式子的最大值：
固定 kk，由于 k>0k>0，我们要求 tt 尽可能小。
根据 k<s≤n−kk<s\le n-k ，容易知道 t=2ks≥2kn−kt=\dfrac{2k}s\ge\dfrac{2k}{n-k}，因此我们只需求 g(k)=[8−2(2kn−k)2]kg(k)=\left[8-2\left(\dfrac{2k}{n-k}\right)^2\right]k 的最大值。
用 Geogebra 画出 g(k)g(k) 和 g′(k)g'(k) 的图像，当 n=100n=100 时，g′(k)g'(k) 的零点是 10033\dfrac{100}{33}，在区间 (33,34)(33,34) 内。
g(33)=8976004489≈199.96>g(34)=2176001089≈199.82g(33)=\dfrac{897600}{4489}\approx 199.96>g(34)=\dfrac{217600}{1089}\approx 199.82，故最大值应为 8976004489\dfrac{897600}{4489}，当 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 中有 3333 个 22 和 6767 个 −6667-\dfrac{66}{67} 时取到。
此外，如果我们令 n=99n=99，则 g′(k)g'(k) 的零点为 3333，正对应着前言的那道题。

评论

共 0 条评论，欢迎与作者交流。

正在加载评论...