数学趣题

求以下关于 $x$ 的方程的正整数解。

有人直接注意到了 $x=89$，请允许我揭秘他的注意过程。

首先由于 $x^{13}$ 的末两位是 $69$，这意味着 $x$ 末位数字不是 $2$，也不是 $5$，那么 $x$ 就与 $10$ 互素，即 $\gcd(x,10)=1$。根据欧拉定理

其中 $\varphi(m)$ 表示小于等于 $m$ 的数中与 $m$ 互素的数的个数。根据定义 $\varphi(10)=4$。可以得到

这个表达式的含义是 $x^4$ 除以 $10$ 的余数是 $1$，也可以读作 $x^4$ 与 $1$ 在模 $10$ 意义下同余。

那么 $x^{12}\equiv 1\pmod {10}$，所以 $x^{13}\equiv x\pmod {10}$。

我们知道一个数除以 $10$ 的余数就是这个数的个位数，则 $x$ 的末位和 $x^{13}$ 相同，为 $9$。

这样就可以将 $x$ 表示为 $10k-1$ 的形式（$k$ 为正整数，可记作 $k\in\N^*$）

考虑展开 $x^{13}=(10k-1)^{13}$，根据二项式定理，$k$ 的 $\ge 2$ 次项前的系数均能被 $100$ 整除，$k$ 前的系数为 $13\times 10=130$，则

$130k-1$ 除以 $100$ 的余数和 $30k-1$ 除以 $100$ 的余数相同，不妨化简。

我们知道一个数除以 $100$ 的余数就是这个数的末 $2$ 位。

则 $30k-1$ 的末两位是 $69$，即 $30k$ 的末两位是 $70$，即 $3k$ 的末两位是 $7$，容易知 $k$ 的末位数字是 $9$（也可以通过求解逆元方程得到，暂且按下不表），因此 $x=89,189,289\dots$

回到原数，发现是一个 $26$ 位数，化成科学记数法大约是 $2.2\times10^{25}$

因此 $x^{13}<2.2\times10^{25}<10^{26}=100^{13}$

Therefore, $x=89.$ Q.E.D.

作者：Aleph