快去尝试单尺作图内接正257边形吧

Update on 12.21：修改了一些错误。

首先我们来看关于单尺作图最基础的两个问题：

首先先看如何已知中点做平行线（如下图，已知直线 $AB$ 和线段 $AB$ 上的中点 $D$，要求过直线外一点的 $C$ 作 $CE\parallel AB$）：

然后再看如何已知平行线做中点（如下图，已知直线 $AB$ 与直线 $CD$，$AB\parallel CD$，求做 $AB$ 中点）：

接下来我们要将真的用于作圆内接正多边形的家伙了（已知圆心）。

由于圆的性质，显然我们可以随便作中点，平行线，垂直和角平分线。

我还是稍微说一下吧：由挑战 $3$ ，因为我们可以随便选两个直径，所以我们显然可以做线段的中点和平行线（这样子我们可以随便平移线）。我们将线通过平移挪到过圆心处，由挑战 $1$ 我们就可以作垂线了。将一个角挪到圆心处，连接两条射线与圆相交的点。做这条线段的中点然后连接圆心和中点并延长。所得的射线再平移回去就可以角平分线。

然后我们考虑圆内接正多边形的重点：

我们先考虑第二个问题。

如图所示设线段 $MN$ 的长度为正多边形的长度。作平行四边形 $MNOB,MOBC$（上面已经说过可以作任意直线的平行线），作 $OB,OC$ 的中点 $D,E$，作 $DF\perp BC,EG\perp BC$ 交圆于点 $F,G$，连接 $FG$。易证 $FG=DE=MN$。

连接 $OG$，过点 $F$ 作 $FH\perp OG$。后面的同理。这样我们就把尾巴收好了。

该回到第一个问题了：如何支持线段加减乘除和开平方？

加减的话，先通过平移让他们有一个公共的端点（如图所示，要计算 $AB+BC$ 和 $AB-BC$），我们可以作 $\angle ABC$ 的平分线和 $\angle BCD$ 的平分线。然后过点 $C$ 分别作两条平分线的垂线交 $AD$ 于 $E,F$，则 $AE=AB-BC,AF=AB+BC$。

乘除的话，我们只看除（乘可以通过 $ab=\frac{a}{\frac{1}{b}}$ 解决），先给两条线段平移到同一直线且有公共端点，且将长度为 $1$ 的线段与这两条线段不平行地放到另一个端点（如图所示，$AB=a,AC=b,CD=1$）。连接 $AD$，作 $BE\parallel CD$ 交 $AD$ 于点 $E$，则 $BE=\frac{a}{b}$。

开根的话，先让 $MN=a$ 延长 $1$ 至点 $K$，将其等比缩放到长度为 $2$，对齐到直径（$M'N'K'$）后利用射影定理作垂线分别交圆于直线于点 $P$，则 $N'P=\frac{2\sqrt a}{a+1}$，再通过相似即可（如图所示 $NQ=\sqrt a$）。

上述方法可能比较麻烦，欢迎提供更好的方法！

好的，你已经学会了单尺作图，接下来请挑战圆内接正 $257$ 边形吧！