大学物理笔记

复习

第一章

• 位矢：从原点指向质点位置，用 $\vec{r}$ 表示。
• 位移：一段时间内的位矢变化，$\Delta\vec{r}=\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)$。
• 注意：$\Delta r=\Delta \lVert \vec r\rVert$ 表示的是位矢长度的改变，一般来说 $\Delta r\neq \Vert\Delta\vec r\rVert$。
• 匀加速运动：$\vec r=\vec r_0+\vec v_0t+\dfrac 12 \vec at^2$
• 抛体运动：以抛出点为原点，$a_x=0,a_y=-g$
  • $v_x=v_0\cos \theta,\ v_y=v_0\sin \theta$
  • $x=v_0\cos \theta\cdot t,\ t=v_0\sin \theta\cdot t-\dfrac12gt^2$
• 圆周运动：切向加速度和法向加速度
  • 角速度 $\omega=\dfrac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t}=\dfrac{v}{R}$
  • 角加速度 $\alpha=\dfrac{{\rm d} \omega}{{\rm d} t}$
  • 加速度 $\vec a=\vec a_{n}+\vec a_t$
  • 法向加速度 $a_n=\dfrac{v^2}{R}=R\omega^2$
  • 切向加速度 $a_t=\dfrac{{\rm d} v}{{\rm d} t}=R\alpha$ （考虑弧长公式 $l=R\theta$）

第二章

• 如何判断惯性系：不受力的物体都保持静止或者匀速直线运动。
  • 判断 $B$ 是否为惯性系：假设物体 $A$ 不受力（静止或者匀速），设 $B$ 为参考系且静止，观测 $AB$ 的相对运动是否符合牛顿第一定律（ $A$ 是否相对于 $B$ 静止或匀速 ）。
  • 牛一定义了惯性系，牛二和牛三只在惯性系中成立。
• 牛顿第二定律：$\vec F=\dfrac{{\rm d}{\vec p}}{{\rm d} t}=\dfrac{{\rm d}{(m\vec v)}}{{\rm d} t}=m\dfrac{{\rm d}{\vec v}}{{\rm d} t}+\vec v\dfrac{{\rm d} m}{{\rm d} t}$。
  • 低速时，可以认为 $m$ 与 $\vec v$ 无关，即 $\vec F=m\vec a$。
  • 接近光速时，物体的质量随速度变化， $\dfrac{{\rm d} m}{{\rm d} t}\neq 0$，但 $\vec F=\dfrac{{\rm d}{\vec p}}{{\rm d} t}$ 仍然成立。
• 牛顿第三定律可以导出，一对相互作用力产生的冲量总是等大反向。
• 流体曳力：在流体中运动的物体会受到流体曳力，方向与相对运动方向相反，物体运动速度较小时，流体曳力 $f_d$ 与相对速率 $v$ 成正比，即 $f_d=kv$，其中 $k$ 与物体大小，形状以及流体的密度，粘度有关。
  • 在空气中，物体运动速度较大时，有 $f_d=\dfrac12\rho CAv^2$，其中 $\rho$ 是空气密度，$A$ 是物体有效横截面积，$C$ 是与相对速率有关的曳引系数，一般在 $0.4\sim 1.0$ 之间。
  • 终极速率：重力和曳力平衡时，物体下落能达到的最大速率 $\dfrac12\rho CAv_t^2=mg\rightarrow v_t=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho CA}}$。
• 表面张力：$F=\gamma l$，其中 $l$ 是在液面上取一条长度为 $l$ 的分界线。
• 万有引力：$f=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}$，引力常量 $G$ 一般取 $6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2/kg^2$。
  • 质量的两个作用：提供惯性，产生引力。
• 惯性力：在牛二定律的形式上处理非惯性系问题，需要加上一个虚拟的力。
  • 在某个相对于惯性系以 $\vec a_0$ 运动的参考系 $S'$ 中，假设物体质量为 $m$，则惯性力 $\vec F_i=-m\vec a_0$，即与 $\vec a_0$ 方向相反，且与物体质量成正比。此时 $\vec F'=\vec F+\vec F_i=m\vec a'$，$\vec a'$ 为 $S'$ 中该物体的加速度。
  • 等效原理：加速系中的惯性力与惯性系中的引力可以等效。如太空中，飞船以 $\vec a_0=-\vec g$ 加速运动，则可以替代地球上重力的作用。

第三章

• 冲量：$\vec I=\int \vec F {\rm d} t$ 是力的时间累积效应。
• 动量定理：$\vec F{\rm d} t={\rm d} {\vec p}$。
  • 对于质点系来说，系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。
• 动量守恒：若 $\sum \vec F_i=0$ 则 ${\rm d} {(\sum \vec p_i)}=0$。（$\sum \vec F_i$ 指的是合外力）
  • 在非惯性系中需要考虑惯性力。
  • 系统内力不影响系统动量。
• 火箭飞行原理：燃料与飞船看成一个整体，喷出的燃料对火箭有一个向前的冲量。
  • 对于火箭的速度，有 ${\rm d}{\vec v}=\vec u\dfrac{{\rm d} M}{M}$ 积分得到 $v_f-v_i=\vec u\ln{\dfrac{M_i}{M_f}}$。
  • 在 ${\rm d} t$ 时间内，$\vec F=\vec u\dfrac{{\rm d} M}{{\rm d} t}$，其中 $\vec u$ 是燃料相对于火箭的速度，${\rm d} M$ 是 ${\rm d} t$ 时间内消耗的燃料质量，是一个负数。
• 角动量：$\vec L=\vec r\times \vec p$，（方向用右手定则判断，逆时针朝纸面向外为正）。（角动量一定是相对于某个定点而言的）
• 力矩：$\vec M=\vec r\times \vec F$，质点对 $O$ 点的力矩等于质点对 $O$ 点的位矢和质点所受合外力的叉积。
  • 角动量定理：$\vec M=\dfrac{{\rm d} {\vec L}}{{\rm d} t}$，可以类比力和动量的关系理解。
  • 角动量守恒：若 $\vec M=0$ 则角动量 $\vec L$ 为常量。
• 质心：对于一个质点系，质心位矢 $\vec r_c=\dfrac{\sum_im_i\vec r_i}{m}=\dfrac{\int \vec x{\rm d} m}{m}$，其中 $m=\sum_im_i=\int{\rm d} m$。
  • 对于空心或者部分缺失的物体，可以先求出补全后整体的质心，然后根据公式减去缺失的部分。
  • 重心：在均匀重力场中，重心和质心重合。
  • 质心的运动速度： $\vec v_c=\dfrac{{\rm d} r_c}{{\rm d} t}=\dfrac{\sum_im_i\vec v_i}{m}$，即速度按照质量的加权平均数。
  • 质心的动量：$m\vec v_c=\sum_im_i\vec v_i$，即质心动量等于质点系中各质点动量之和。
  • 质心运动定理：$\vec F=m\vec a_c$，系统所受合外力等于总质量乘以质心加速度。
  • 质心系：以质心为原点的质点系。
  • 质点系的角动量：$\vec L=\sum_i\vec L_i=\sum_i\vec r_i\times\vec p_i$，$\vec M=\sum_i\vec r_i\times \vec F_i$，即质点系对于某个定点的合外力矩等于各质点所受力矩的矢量和。
  • 质点系的角动量守恒：若 $\vec M=0$ 则 $\vec L$ 为常量。（在判断转盘等是否动量守恒的时候，要注意转轴也可以对系统产生冲量，可以通过质心的运动状态判断动量是否守恒）（合外力为 $0$ 不代表合外力矩为 $0$）
  • 质点系对点 $O$ 的总角动量等于质心对点 $O$ 的角动量（轨道角动量）加上质点系对质心的总角动量。
  • 质心参考系的角动量定理：$\vec M_c=\dfrac{{\rm d}{\vec L}_c}{{\rm d} t}$，即质点系相对于质心的总角动量变化率等于质点系所受的相对于质心的合外力矩。（在惯性系和非惯性的质心参考系中都成立，考虑非惯性系和引力的等效原理，对质心系的作用等效于对质心的作用，这部分力矩必然为 $0$）

第四章

• 保守力：做功与路径无关，只决定于始末位置的力。例如重力，弹簧弹力等。
• 质点系的动能定理：内力可以改变系统的总动能，但不能改变角动量（相对于任意点）和动量。
• 柯尼希定理：质点系动能等于质心动能（轨道动能）加上质点相对于质心的速度分量产生的动能（内动能），即 $E_k=E_{k,c}+E_{k,in}$。
• 动能分解的条件：动能中的平方展开后的交叉项为 $0$ 即可。（如对速度正交分解，柯尼希定理等）
• 引力势能：设 $r=\infty$ 处 $E_p=0$，则引力势能 $E_p=-G\dfrac{m_1m_2}{r}$。即远离地球时，引力势能增大。
• 由势能求保守力：因为势能增量和保守力做功是一对相反数，所以我们对势能求梯度（对每一维求偏导）即可得到保守力。
• 质点系的功能原理：质点系外力和非保守内力做功之和等于质点系的机械能增量。
  • 质点系保守内力做功之和等于质点系势能的减少，此时质点系的势能转化为动能，总机械能不变。
  • 质点系外力做的总功（质心系）等于系统内能（势能与相对于质心的动能之和）的变化量。
• 完全非弹性碰撞：两个物体碰撞之后不再分开。
  • $E_{loss}=\dfrac12m_1v_1^2+\dfrac12m_2v_2^2-\dfrac12(m_1+m_2)v^2$，其中 $(m_1+m_2)v=m_1v_1+m_2v_2$，即损失的动能为系统碰撞前的内动能，剩下的是轨道动能。
• 弹性碰撞：两个物体碰撞前后没有动能损失。
  • 设碰撞前两个小球速度为 $v_{10},v_{20}$，则碰撞后有 $v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{10}+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_{20},v_2'=\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{20}+\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_{10}$。
• 理想流体：不可压缩，无粘滞性。
  • 连续性方程（流体稳定流动，流出流入质量相等）
    • 可压缩流体（密度不恒定）：$S_1v_1\rho_1=S_2v_2\rho_2$，质量流量 $Q_m=Sv\rho$ 为常数。
    • 不可压缩流体：有 $\rho_1=\rho_2$，因此有 $S_1v_1=S_2v_2$，体积流量 $Q=Sv$ 为常数，不特别说明时，流量指的是体积流量。
  • 伯努利方程：对于理想流体的稳定流动，有 $p+\dfrac12\rho v^2+\rho gh$ 是一个常数。 其中 $p$ 称为压强能，$\dfrac12\rho v^2$ 称为动能，$\rho gh$ 称为势能。
    • 流速大的地方，压强小。
    • 流体从小孔流出的速度与流体质量元从液面处自由下落到小孔处的速度大小相等。

第五章

• 刚体的特别假设：各质点间相对位置不变。
  • 各点转动时角量相同。
  • 任意运动可以分解为随刚体上任意一点的平动和绕该点的转动。
  • 所有内力做功之和为 $0$。
• 转动惯量：$J=\sum_i\Delta m_i r_i^2 = \int r^2{\rm d} m$，其中 $r_i$ 是相对于某个给定的点的位矢长度，转动惯量是相对于一个点而言的。转动惯量越大，越不易改变其转动状态，更稳定。(注意转动惯量中有一个 $m$ 不要漏掉)
  • 平行轴定理：设质心的转动惯量为 $J_c$，刚体的质量为 $m$，则对于某一个距离质心为 $d$ 的轴，相对于其的转动惯量 $J=J_c+md^2$。平行轴定理只适用于均匀、连续、刚性的物体，而且要求轴与物体平行且在同一平面内。
  • 可以将转动惯量 $J$ 类比成平动中的质量 $m$，两者对应的运动方程类似。
• 角动量守恒：若 $\vec M_z=0$，则 $L_z$ 是一个常量。
  • 如何快速判断 $\vec F_i$ 产生的力矩 $\vec M_{iz}=0$：
    • $\vec F_i$ 平行于转轴。
    • $\vec F_i$ 作用于转轴。
    • $\vec F_i$ 的反向延长线与转轴相交。
• 力矩做功：类比力的做功是力的空间积累效应，力矩做功是力矩的空间积累效应。即 ${\rm d} A=M_z{\rm d}\theta$。
  • 合外力矩做功本质上是合外力作用，不要重复计算。
  • 动能：$E_k=\dfrac{1}{2}J\omega^2$
  • 其他功能方程类比平动。

第六章

• 简谐振动：$x=A\cos(\omega t+\varphi)$，其中 $\omega$ 为角频率，$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi\nu$，其中 $T$ 为周期，$\nu$ 为频率。
  • $A$ 为振幅，即离开平衡位置的最大距离，$\varphi$ 为初相位。
  • 速度 $v=\dfrac{{\rm d} x}{{\rm d} t}=\omega A\cos(\omega t+\varphi+\dfrac{\pi}{2})$，加速度 $a=\dfrac{{\rm d}{^2 x}}{{\rm d} {t^2}}=\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi+\pi)$。
• 简谐运动的动力学方程：$F=-kx$，即一个质点所受的沿位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。$k$ 为比例系数且 $k>0$。
  • 只要满足 $F=-kx\ (k>0)$ 的运动一定是简谐运动。
  • $-kx=F=ma\rightarrow a=-\dfrac{k}{m}x$。又因为 $a=-\omega^2x$，因此有 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\ T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$。
• 给定初速度 $v_0$ ，角频率 $\omega$ 以及初始位移 $x_0$，如何求振动方程？
  • 将初速度和初始位移表达式写出来，$x_0=A\cos\varphi,\ v_0=-\omega A\sin\varphi$。
  • 容易得到，$A=\sqrt{x_0^2+\dfrac{v_0^2}{\omega^2}},\varphi=\arctan(-\dfrac{v_0}{\omega x_0})$。
  • 即得，振动方程知三可解。
• 小角度摆动的单摆做简谐运动，角频率 $\omega=\sqrt {\dfrac{g}{l}}$，周期为 $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$。
• 稳定/非稳定平衡：在扰动作用后，是否能回复到原平衡状态。（如立起来的硬币是非稳定平衡，平放的硬币是稳定平衡）
• 在稳定平衡位置附近的微小振动都是简谐运动。
• 简谐运动的机械能：$E=E_p+E_k=E_k+\dfrac12kx^2$。对于振幅为 $A$，劲度系数为 $k$ 的弹簧振子系统，$E=\dfrac 12 kA^2$。
  • 振动过程中，弹性势能和振子动能的平均值为 $\bar{E}_p=\bar{E}_k=\dfrac12E$。
• 阻尼振动：在振动过程中有阻力，在速度不大时可以认为阻力与速度大小成正比且反向，即 $f_r=-\gamma v$。
  • 则在运动过程中，有 $F=-kx-\gamma\dfrac{{\rm d} x}{{\rm d} t}$。定义固有角频率为 $\omega_0=\sqrt{\dfrac km}$ ，阻尼系数为 $\beta=\dfrac{\gamma}{2m}$。那么有 $\dfrac{{\rm d}{^2x}}{{\rm d} t^2}+2\beta\dfrac{{\rm d} x}{{\rm d} t}+\omega_0^2x=0$。
  • 欠阻尼（阻力较小时，$\beta<\omega_0$）：振动方程为 $A_0e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi_0)$，其中 $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$。
    • 此时，周期 $T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}>T_0$。
    • 当 $\beta<<\omega_0$（弱阻尼）时，$E$ 近似等于 $E_0e^{-2\beta t}$，$E_0$ 为初始能量，衰减到 $e^{-1}E_0$ 所经过的时间 $\tau=\dfrac{1}{2\beta}$ 为时间常数或鸣响时间。
    • 品质系数：$Q=\omega\tau=\dfrac{\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}{2\beta}$。当阻尼为弱阻尼时，$Q$ 近似为 $\omega_0\tau$。品质系数越高，对应的装置或乐器的品质越好。
  • 过阻尼（阻力较大，$\beta>\omega_0$）：不具有周期，慢慢回到平衡位置。
  • 临界阻尼（$\beta=\omega_0$）：也是一次性回到平衡位置，但是时间比过阻尼使用的时间要短。
• 受迫振动：在周期性的驱动力作用下的振动。
  • 稳定时，振动频率等于驱动力的频率。
  • 当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时发生共振，此时系统最大限度地从外界吸收能量。
• 拍：同一直线不同频率的简谐运动合成。
  • 设 $x_1=A\cos(\omega_1t+\varphi),\ x_2=A\cos(\omega_2 t+\varphi)$。
  • 则 $x=x_1+x_2=2A\cos(\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}t)\cos(\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\varphi)$。
  • 可以看成是一个振幅 $A'=2A\cos(\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}t)$ 随时间变化的简谐振动。（需要注意，振幅应该恒为正数，所以相当于相位每变化 $\pi$，振动需要正负翻转一次）
  • 拍频：$\nu$ 是单位时间内，振动加强或减弱的次数，或者是振幅 $\left|2A\cos(\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}t)\right|$ 变化的周期个数。拍的周期为 $T_a=\dfrac{\pi}{\left|\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}\right|}$，则拍频 $\nu=\dfrac{1}{T_a}=\left|\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2\pi}\right|=|\nu_1-\nu_2|$，即两个分振动的频率之差。

第七章

• 波函数：不妨假设初相位 $\varphi=0$，则波函数为 $y=A\cos(\omega(t-\dfrac{x}{u}))$，即某个质点离开平衡位置的位移是一个和平衡位置的横坐标 $x$，以及时间 $t$ 有关的函数 $y(x,t)$。
• 波形曲线：相当于是在 $t=t_0$ 时刻给波截图，即 $y=A\cos(\omega t_0-\dfrac{\omega x}{u})=A\cos(\omega t_0-\dfrac{2\pi x}{ Tu})=A\cos(\omega t_0-\dfrac{2\pi}{\lambda}x)$。其中 $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ 称为波数，那么有 $y=A\cos(\omega t_0-kx)$。
• 弹性形变：
  • 线变（拉伸或压缩）：$\sigma=E\varepsilon$，其中 $\sigma=\dfrac{F}{S}$ 是正应力，$\varepsilon=\dfrac{\Delta l}{l}$ 是正应变，$E$ 是杨氏模量。单位体积内的弹性势能为 $w_p=\dfrac12E\varepsilon^2$。
  • 剪切应变，剪应力符号为 $\tau$，剪应变符号为 $\gamma$，有 $\tau=G\gamma$，其中 $G$ 是剪切模量。单位体积内的弹性势能为 $w_p=\dfrac12G\gamma^2$。
  • 体应变，$\Delta p=-K\dfrac{\Delta V}{V}$，其中 $K$ 是体弹模量，且 $K>0$，负号表示压强增大体积变小。单位体积内的弹性势能为 $w_p=\dfrac12K\left(\dfrac{\Delta V}{V}\right)^2$。
  • 一般来说，有 $E>2G$ 且模量越大，物体越难变形。
• 波速：其中 $\rho$ 是密度，$\rho_l$ 是线密度，$F$ 是绳中的张力，其他是对应的模量。
  • 横波波速：$u=\sqrt{\dfrac{G}{\rho}}$。
  • 纵波波速：$u=\sqrt{\dfrac{E}{\rho}}$。
  • 液体气体中的纵波波速：$u=\sqrt{\dfrac{K}{\rho}}$。
  • 拉紧的绳中的横波波速：$u=\sqrt{\dfrac{F}{\rho_l}}$。
• 简谐波的能量：$\omega$ 为角频率，$A$ 为振幅，$\rho$ 为介质密度。
  • 平均能量密度：$\bar{\omega}=\dfrac12\rho\omega^2A^2$。（单位体积内的波在一个周期内所含的的平均能量）
  • 能流：单位时间内通过某截面的能量。
  • 波的强度：$I=\bar\omega u=\dfrac12\rho\omega^2A^2u$。（单位面积的平均能流）
• 驻波：两列频率，振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波 $y_1(x,t)=A\cos(\omega t-\dfrac{2\pi}{\lambda}x)$ 和 $y_2(x,t)=A\cos(\omega t+\dfrac{2\pi}{\lambda}x)$ 合成的波 $y=2A\cos(\dfrac{2\pi}{\lambda}x)\cos(\omega t)$。
  • 振幅为 $\left|2A\cos(\dfrac{2\pi}{\lambda}x)\right|$，当 $x=k\dfrac{\lambda}{2}$ 时，振幅取最大值，称为波腹；当 $x=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$ 时，振幅为 $0$，称为波节。两个最近的波腹之间距离为 $\dfrac\lambda2$。
  • 形成驻波的条件：
    • 弦长为半波长的整数倍。
    • 反射波：波疏介质 $\rightarrow$ 波密介质（$\rho_1u_1<\rho_2u_2$）时会出现半波损失，即入射波和反射波时刻反相，反射界面为波节。反之，当 $\rho_1u_1>\rho_2u_2$ 时，反射界面为波腹，振幅最大。（在空中甩丝带，末尾的振幅一直最大）
• 声级：$L=10\lg\dfrac{I}{I_0}$，单位为 $dB$，其中 $I_0=10^{-12}W\cdot m^{-2}$ 为可闻声强的下限。
• 多普勒效应：$\nu_R=\dfrac{u+v_R}{u-v_S}\nu_S$。$u$ 为波速，$\nu_R$ 为接收的频率，$\nu_S$ 为发出的频率，$v$ 为对应相向运动时的速度，相向运动方向为正方向。
  • 电磁波（光）的情况：$\nu_R=\sqrt{\dfrac{1+v/c}{1-v/c}}\nu_S$，光源和接收器在同一直线上相向运动。
  • 当波源速度超过波速时，波到达的前沿形成了马赫锥，其半顶角为 $\alpha$，且有 $\sin \alpha=\dfrac{u}{\nu_S}$。

第八章

• 时间延缓：$\Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$，其中 $\Delta t'$ 为固有时。
  • 固有时为在某一参考系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔。固有时最短。
• 长度收缩：$l=l'\sqrt{1-u^2/c^2}$，其中 $l'$ 为固有长度。
  • 固有长度为在某一参考系中静止的物体的长度。固有长度最长。
• 相对论质量：$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，其中 $v$ 是物体在某个参考系中的速度。
• 相对论动能：
  • 相对论能量 $E=mc^2$。
  • 相对论动能 $E_k=mc^2-m_0c^2$。
  • 相对论动量能量关系式 $E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$。

第九章

• 热力学第零定律：如果物体 $A$ 和物体 $B$ 能分别与物体 $C$ 的同一状态处于平衡态，那么把这时的 $A$ 和 $B$ 放在一起，两者也一定处于平衡态。
  • 平衡态：一个系统各种性质不随时间改变的状态。
  • 温度的定性定义：共处于平衡态的物体，他们的温度相等。
• 理想气体：在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。
  • 玻意耳定律：一定质量的气体，在一定温度下，其压强 $p$ 和体积 $V$ 的乘积是一个常量。
• 理想气体状态方程：$pV=\nu RT$，其中 $\nu$ 为气体分子物质的量。
  • 对于质量同为 $m$ 的同种理想气体，有 $\dfrac{pV}{T}=\dfrac{p_0V_0}{T_0}$，其中 $p_0=1.013\times 10^5 Pa$ 为标准大气压，$T_0=273.15K$ 为标况温度，$V_0=\nu V_{m,0}$，其中 $\nu$ 为气体分子物质的量，$V_{m,0}=22.4L/mol$ 为标况下的摩尔体积。
  • 带入得到，$R=\dfrac{p_0V_{m,0}}{T_0}=8.31J/(mol\cdot K)$ 为普适气体常量。
  • 一些等价的形式：$pV=\nu RT=\dfrac{m}{M}RT$。更常用的形式为 $p=nkT$，其中 $k=\dfrac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}J/K$ 为玻尔兹曼常量，$n=\dfrac{N}{V}$ 为气体分子数密度。
• 气体分子的无规则运动：
  • 自由程 $\lambda$ 为一个分子在任意连续两次碰撞之间所经过的路程；平均碰撞频率 $\bar z$ 为一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
  • 设 $\bar v$ 表示分子运动的平均速率，那么平均自由程为 $\bar\lambda=\dfrac{\bar v}{\bar z}$。
  • 设分子直径为 $d$，平均相对速率为 $\bar u$，则平均碰撞频率为 $\bar z=nd^2\pi\bar u$。
  • 可以证明 $\bar u=\sqrt2\bar v$，因此 $\bar z=\sqrt 2nd^2\pi \bar v$，$\bar \lambda=\dfrac{1}{\sqrt2\pi d^2}\dfrac{kT}{p}$。
• 理想气体的一些公式：
  • 分子的平均平动动能为 $\bar \varepsilon_t=\dfrac12m_m \bar{v^2}$，则压强为 $p=\dfrac23n\bar{\varepsilon}_t$。
  • 温度公式 $\bar\varepsilon_t=\dfrac32kT$。
  • 方均根速率：$v_{rms}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m_m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$。
  • 气体动能：$E=N\dfrac{i}{2}kT$，其中 $i$ 为气体分子的自由度。
• 三种统计速率：
  • 平均速率：$\bar v=\sqrt{\dfrac{8}{\pi}\dfrac{RT}{M}}\approx1.60\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$。
  • 方均根速率：$v_{rms}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}\approx1.73\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$。
  • 最大概然速率：$v_p=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}\approx1.41\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$。
• 麦克斯韦速率分布曲线：
  • 分子质量 $m_m$ 越小，$T$ 越高，$v_p$ 越大。
  • $T$ 越高，$m_m$ 越小，$f(v_p)$ 越小，即曲线越平坦。