早上起来 脑壳痛
太阳好白 头好重
脑子没带 身子先动
边出门 边做梦

威佐夫博弈。

• 一个必败点的决策不可能到达必败点。因为对于这个必败点如果可以走向必败点，直接走过去会使得对方必败，也就是必胜点。所以每对必败必胜点的两个坐标一定不同，两个坐标的差值一定不同。
• 如果一个点的决策里没有必败点，那它是必败点。因为只有走向必败点才能让对方必败而自己必胜。
• 每个 $x_i=\operatorname{mex}_{j=0}^{i-1}(x_j,y_j),y_i=x_i+i$。考虑归纳证明法，假如升序排序前 $i-1$ 项都满足 $x_i+i=y_i$，那么接下来满足 $x$ 最小的值肯定为前面所有数的 $\operatorname{mex}$，而满足两位差没有出现过的最小值为 $i$，并且因为 $x,y$ 都单调递增，所以这个 $y=x+i$ 肯定没出现过。

Betty 定理

证明

• 引理一：$\lfloor n\times a\rfloor+1\le \lfloor (n+1)\times a\rfloor(n\in \mathbb{N})$。
  证明：因为 $a,b>0,\frac{1}{a}<1,\frac{1}{b}<1$，所以 $a,b>1$，给非负数增加一个 $>1$ 的数肯定会导致整数部分至少 $+1$。
  • 推论：$\lfloor n\times a\rfloor$ 互不相同。
  • 推论：$\lfloor (n+1)\times a\rfloor\ge 1$。
    • 推论：$A\cup B\subseteq\mathbb{N}^{+}$
• 引理二：不存在 $x\in A,x\in B$。
  证明：因为 $A\cup B\subseteq\mathbb{N}^+$，所以 $x\in\mathbb{N}^+$，设 $x=\lfloor n\times a\rfloor=\lfloor m\times b\rfloor(n,m\in \mathbb{N}^{+})$，因为 $a,b$ 是无理数所以取不到等号，$x<n\times a<x+1$。 x<n\times a<x+1\\[0.2cm] \frac{x}{n}<a<\frac{x+1}{n}\\[0.2cm] \frac{n}{x+1}<\frac{1}{a}<\frac{n}{x}$$ 同理我们有 $\frac{m}{x+1}<\frac{1}{b}<\frac{m}{x}$。两式相加得： \frac{n+m}{x+1}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{n+m}{x}\[0.2cm] \frac{n+m}{x+1}<1<\frac{n+m}{x}\[0.2cm] \frac{x}{n+m}<1<\frac{x+1}{n+m}\[0.2cm] x<n+m<x+1$$ 显然这与 $n,m,x\in\mathbb{N}^+$ 冲突。
  • 推论：$A\cap B=\emptyset$。
• 引理三：不存在 $x\notin A,x\notin B,x\in\mathbb{N}^+$。
  证明：设 $\lfloor n\times a\rfloor<x<\lfloor (n+1)\times a\rfloor$，然后我们把式子拆开分析： $$\lfloor n\times a\rfloor<x\\[0.2cm] n\times a<x\\[0.2cm] a<\frac{x}{n}\\[0.2cm] \frac{n}{x}<\frac{1}{a}\\[0.6cm] x<\lfloor (n+1)\times a\rfloor\\[0.2cm] x\le\lfloor (n+1)\times a-1\rfloor\\[0.2cm] x+1<(n+1)\times a\\[0.2cm] \frac{x+1}{n+1}<a\\[0.2cm] \frac{x+1}{n+1}<a\\[0.2cm] \frac{1}{a}<\frac{n+1}{x+1}$$ 合并两式得 $\frac{n}{x}<\frac{1}{a}<\frac{n+1}{x+1}$，同理有 $\frac{m}{x}<\frac{1}{b}<\frac{m+1}{x+1}$，两式相加得 $\frac{n+m}{x}<1<\frac{n+m+2}{x+1}$，把式子拆开分析： $$\frac{n+m}{x}<1\\[0.2cm] n+m<x\\[0.4cm] 1<\frac{n+m+2}{x+1}\\[0.2cm] x+1<n+m+2$$ 合并两式得 $n+m<x<x+1<n+m+2$，显然这与 $n,m,x\in\mathbb{N}$ 冲突。
  • 推论：$A\cup B\supseteq\mathbb{N}^{+}$

• 一式： $$\lfloor a\times n\rfloor+n=\lfloor b\times n\rfloor\\[0.2cm] \lfloor a\times n+n\rfloor=\lfloor b\times n\rfloor\\[0.2cm] \lfloor (a+1)\times n\rfloor=\lfloor b\times n\rfloor$$ 如果 $a+1\not=b$，那么一定存在一个 $n$ 使得 $\lfloor (a+1)\times n\rfloor=\lfloor b\times n\rfloor$，差不多就是考虑 $n=O(|a+1-b|)$ 的时候。所以 $b=a+1$。 合并两式得 $\begin{cases}b=a+1\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\\a>0\\b>0\end{cases}$