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hhali13
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@miqs5dgd
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2025/12/04 09:51
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2025/12/04 09:51
3 个月前
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0. 啥也没用的 xxs 指南我的入坑记录：

遇到 ∣x∣+y2=0|x|+y^2=0 时，∣x∣=0|x|=0，y2=0y^2=0
遇到二元一次方程或更高难度的一次方程时，不要总想着加减消元，你要记得还有一个东西叫做代入消元法
解方程 x2=2xx^2=2x 有 22 个解 x=2x=2 或 x=0x=0
欧拉公式：eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0

1. 次幂算法

基础公式：

am⋅an=am+na^m·a^n=a^{m+n}
(am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}
(ab)n=anbn(ab)^n=a^n b^n

进阶公式：

aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}
∵an⋅am−n=an+m−n=am\because a^n·a^{m-n}=a^{n+m-n}=a^m
∴aman=am−n\therefore \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}
a0=1a^0=1
∵a0=an−n=anan=1\because a^0=a^{n-n}=\dfrac{a^n}{a^n}=1
∴a0=1\therefore a^0=1
a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n}
∵a−n=a0−n=a0an=1an\because a^{-n}=a^{0-n}=\dfrac{a^0}{a^n}=\dfrac{1}{a^n}
∴a−n=1an\therefore a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

2. 证明 2\sqrt{2} 不是有理数

假设 2\sqrt{2} 是有理数
则：存在互质的两个正整数 mm 和 nn，使 2=nm\sqrt{2}=\dfrac{n}{m}
则：n=2mn=\sqrt{2}m，则：n2=2m2n^2=2m^2
则：2∣n22|n^2，则：2∣n2|n
则：4∣n24|n^2
则：4∣2m24|2m^2，则：2∣m22|m^2
则：2∣m2|m
∵n∣2,m∣2\because n|2,m|2
∴gcd⁡(n,m)≥2\therefore \gcd(n, m) \ge 2
∴n 和 m 不互质，与假设矛盾，所以假设不成立\therefore n \text{ 和 } m \text{ 不互质}，与假设矛盾，所以假设不成立

3. 质因数

要求一个数的质因数个数的公式，首先需要理解质因数分解的概念。质因数分解是将一个正整数写成几个质数相乘的形式。每个质数都是原数的质因数。
对于一个数 nn 来说，其质因数个数取决于它的质因数分解形式。不幸的是，没有一个简单的公式可以直接给出任意 nn 的质因数个数，因为这涉及到 nn 的质因数分解的具体细节。不过，我们可以通过以下步骤来确定一个数的质因数个数：
首先对 nn 进行质因数分解。
将 nn 分解成质数的乘积形式：n=p1k1×p2k2×…×pmkmn = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \ldots \times p_m^{k_m}，其中 p1,p2,…,pmp_1, p_2, \ldots, p_m 是质数，k1,k2,…,kmk_1, k_2, \ldots, k_m 是对应的指数。
质因数个数就是所有指数 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \ldots, k_m 的和，即 k1+k2+…+kmk_1 + k_2 + \ldots + k_m。
例如，如果 n=60n = 60，质因数分解为 60=22×31×5160 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1，那么质因数的个数就是 2+1+1=42 + 1 + 1 = 4。
要求一个数的所有质因数之和，我们可以使用质因数分解。以下是一个基于数学方法的步骤： 对给定的数 nn 进行质因数分解。
将 nn 分解成质数的乘积形式：n=p1k1×p2k2×…×pmkmn = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \ldots \times p_m^{k_m}，其中 p1,p2,…,pmp_1, p_2, \ldots, p_m 是质数，k1,k2,…,kmk_1, k_2, \ldots, k_m 是对应的指数。
计算所有质因数的和：S=p1+p2+…+pmS = p_1 + p_2 + \ldots + p_m。
这里的关键是，每个质因数 pip_i 在质因数分解中只计算一次，即使它作为因数出现多次。
下面是一个具体的例子：
假设我们要对数 n=60n = 60 进行质因数分解：
60=22×31×5160 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 这里，p1=2p_1 = 2, p2=3p_2 = 3, p3=5p_3 = 5，所以所有质因数之和为：
S=2+3+5=10S = 2 + 3 + 5 = 10
所以，60的所有质因数之和是10。
如果我们有一个数 nn，并且我们想用数学方法求其所有质因数之和，我们可以使用以下步骤：
找出 nn 的最小质因数 p1p_1。
将 nn 除以 p1p_1，直到 nn 不能再被 p1p_1 整除。
找出新的 nn 的最小质因数 p2p_2，重复步骤2。
继续这个过程，直到 nn 被减少到1。
将所有找到的不同的质因数相加。
这个过程可以用数学公式表示为：
S=∑i=1mpiS = \sum_{i=1}^{m} p_i
其中 pip_i 是 nn 的质因数，并且每个 pip_i 只计算一次。

4. 关于“角”的一些知识

  1. 加起来 9090 度 == 余角
  2. 加起来 180180 度 == 补角

5. 等比数列通项公式

anan−1=q\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q
an=a1qn−1a_n=a_1q^{n-1}
Sn=a1−a1qn1−q(q≠1)S_n=\dfrac{a_1-a_1q^n}{1-q}(q\neq1)

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