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三角函数初步

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2025/12/04 09:42
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2025/12/04 09:42
3 个月前
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三角函数基本结论

三角函数诱导公式

根据三角函数定义，诱导公式是显而易见的：

1.诱导公式1：

sin⁡(2kπ+x)=sin⁡xcos⁡(2kπ+x)=cos⁡xtan⁡(2kπ+x)=tan⁡x (k∈Z)\begin{aligned} \sin (2k\pi + x) &= \sin x \\ \cos (2k\pi + x) &= \cos x \\ \tan (2k\pi + x) &= \tan x \ (k \in Z) \end{aligned}

2.诱导公式2：

sin⁡(π+x)=−sin⁡xcos⁡(π+x)=−cos⁡xtan⁡(π+x)=tan⁡x\begin{aligned} \sin (\pi + x) &= -\sin x \\ \cos (\pi + x) &= -\cos x \\ \tan (\pi + x) &= \tan x \end{aligned}

3.诱导公式3：

sin⁡−x=−sin⁡xcos⁡−x=cos⁡xtan⁡−x=−tan⁡x\begin{aligned} \sin -x &= -\sin x \\ \cos -x &= \cos x \\ \tan -x &= -\tan x \end{aligned}

4.诱导公式4：

sin⁡(π−x)=sin⁡xcos⁡(π−x)=−cos⁡xtan⁡(π−x)=−tan⁡x\begin{aligned} \sin (\pi - x) &= \sin x \\ \cos (\pi - x) &= -\cos x \\ \tan (\pi - x) &= -\tan x \end{aligned}

5.诱导公式5：

sin⁡(π2−x)=cos⁡xcos⁡(π2−x)=sin⁡x\begin{aligned} \sin(\frac{\pi}{2} - x) &= \cos x \newline \cos(\frac{\pi}{2} - x) &= \sin x \end{aligned}

6.诱导公式6：

sin⁡(π2+x)=cos⁡xcos⁡(π2+x)=−sin⁡x\begin{aligned} \sin(\frac{\pi}{2} + x) &= \cos x \newline \cos(\frac{\pi}{2} + x) &= -\sin x \end{aligned}

三角恒等式

1.和角公式

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+sin⁡βcos⁡αcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned}

2.差角公式

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−sin⁡βcos⁡αcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βtan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\begin{aligned} \sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned}

3.二倍角公式

由和角公式我们可以轻松的令 β=α\beta = \alpha 得出二倍角公式：
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2αtan⁡2α=2tan⁡α1+tan⁡α2\begin{aligned} \sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha &= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\ &= 2\cos^2 \alpha - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2 \alpha\\ \tan 2\alpha &= \frac{2\tan \alpha}{1 + \tan \alpha^2} \end{aligned}
ps : 在习题中我们曾见过这个等式 1+2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α−sin⁡2α=1+tan⁡α1−tan⁡α\frac{1+2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{1+\tan \alpha}{1 - \tan \alpha} 由二倍角公式我们得知:1+sin⁡2αcos⁡2α=1+tan⁡α1−tan⁡α\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{1+\tan \alpha}{1 - \tan \alpha}

4.三倍角公式

由和角公式和二倍角公式我们可以轻松的令 β=2α\beta = 2\alpha 得出三倍角公式：
sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3αcos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡2αtan⁡3α=3tan⁡α−tan⁡3α1−3tan⁡2α\begin{aligned} \sin 3\alpha &= 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha \\ \cos 3\alpha &= 4\cos^3 \alpha - 3\cos^2 \alpha \\ \tan 3\alpha &= \frac{3\tanα- \tan^3 \alpha}{1 - 3\tan^2 \alpha} \end{aligned}
ps：由我的欧拉公式与棣莫弗公式这篇文章中的欧拉公式和棣莫弗公式也可以推导出三倍角公式，若再加上二项式定理可推广到 nn 项式定理。

5.和差化积公式

由前面的和角公式和差角公式我们发现：
sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) &= 2\sin \alpha \cos \beta \\ \end{aligned}

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