量子逻辑笔记

度量空间

1. 正定： $d(x,y)=0\iff x=y$；
2. 交换： $d(x,y)=d(y,x)$；
3. 三角形不等式： $d(x,y)+d(y,z)\le d(x,z)$。

• 开球： $B(x_0;r)=\{x\mid d(x,x_0) < r\}$，亦唤作 $x_0$ 之邻居；
• 闭球： $\tilde B(x_0;r)=\{x\mid d(x,x_0) \le r\}$；
• 球壳： $S(x_0;r)=\tilde B(x_0;r)\setminus B(x_0;r)$。

• 开集： 称一点集 $S$ 开，若对所有 $x\in S$，其都有一邻居 $B\sub S$；
• 闭集： 称一点集 $S$ 开，当且仅当 $X\setminus S$ 开。

• 内部点： 称 $x$ 是 $\mathcal M$ 之一内部点，当且仅当 $x$ 有一邻居 $B\sub S$；
• 内部： $\mathcal M$ 的内部是其所有内部点组成的集合，记作 $\mathcal M^0$ 或 $\mathrm{Int}(M)$。它是 $\mathcal M$ 包含的** 最大** 开集。
• 聚点： 称 $x$ 是 $\mathcal M$ 之一聚点，当且仅当 $x$ 任意大小的邻居中都有一点（不为 $x$ 的点）在 $\mathcal M$ 内；
• 闭包： $\mathcal M$ 的闭包是其并上其的所有聚点形成的集合，记作 $\overline {\mathcal M}$。它是** 最小** 的包含 $\mathcal M$ 的闭集。

易验证 $\mathcal X$ 内所有开集组成的集合 $\tau$ 构成了 $X$ 之一拓扑。且其上的内部与闭包的定义与拓扑中的定义吻合。

去掉不为 $x$ 的那个条件好像定义看起来好看一些，这样定义我认为是为了和分析中的聚点定义吻合。

• 稠密： 称 $\mathcal M$ 是稠密的，若 $\overline {\mathcal M}=\mathcal X$；
• 可分： 称 $\mathcal M$ 是可分的，当且仅当其有一可数稠密子空间。

• （点）连续： 称 $f:X\to Y$ 的映射在 $x_0$ 连续，若对于任意 $\varepsilon>0$，都存在一 $\delta>0$，使得对于所有 $x\in B(x_0;\delta)$ 都有 $e(f(x),f(x_0))<\varepsilon$。
• 连续： 称 $f$ 是连续的，当且仅当其在任意一点连续。

易验证 $f$ 亦是 $(X,\tau_X)$ 到 $(Y,\tau_Y)$ 之一连续函数，反过来也成立。

• 收敛： 称其收敛当且仅当存在一点 $x\in X$ 满足：$\lim_{n\to \infin} d(x,x_n)=0$。
• 极限： 称 $x$ 为 $\{x_n\}$ 的极限，（简）记作 $x_n\to x$。
• 发散： 记发散为收敛的反义词。
• 有界： 称 $M$ 是有界的，当且仅当 $\delta(M)=\sup_{x,y\in M}d(x,y)$ 是有穷的。

• 收敛的点列构成的集合是有界的，且其极限唯一；
• 若 $x_n\to x,y_n\to n$，那么 $d(x_n,y_n)\to d(x,y)$。

• $f$ 在 $x_0$ 连续当且仅当对任意 $\{x_n\}$，若 $x_n\to x_0$ 则 $f(x_n)\to f(x_0)$。

• 柯西列： 称 $\{x_n\}$ 是柯西列，若对于所有 $\varepsilon>0$，都存在一 $N$ 使得 $\sup_{i,j>n}d(x_i,x_j)<\varepsilon$。
• 完备： 称 $\mathcal X$ 完备当且仅当其上所有柯西列都收敛。

• 闭包-收敛定理： $x\in \overline{\mathcal M}$ 当且仅当 $\mathcal M$ 有一点列收敛于 $x$；
• $\mathcal M$ 是闭的当且仅当其上任意点列都收敛。
• 从而，完备空间 $\mathcal X$ 之子空间 $\mathcal M$ 完备当且仅当其闭。

• 完备化： 称 $\mathcal S$ 是 $\mathcal X$ 的完备化，当且仅当有一 $\mathcal X$ 到 $\mathcal S$ 某一稠密子空间的保距同构。
• $\mathcal X$ 之一完备化按照如下方式定义。
  1. 考察 $\mathcal X$ 上所有柯西列组成的集合 $S'$，考察 $S'$ 上的等价关系 $\sim$：
     • $A\sim B$ 当且仅当 $d(A_n,B_n)\to 0$；
     取 $S = S'/\sim$。
  2. 定义 $S$ 上的度量 $t$：$t([A],[B]) = \lim_{n\to \infin} d(A_n,B_n)$。易验证其良定义。
  3. 定义 $X$ 到 $S$ 的映射，对于 $x\in X$，令 $f(x)$ 是由 $x$ 无限重复构成的点列所在的等价类。
  4. 那么 $(S,t)$ 是 $\mathcal X$ 的完备化，保距同构在 3 中给出，稠密性由定义和闭包-收敛定理显然。

• 完备化的唯一性： $\mathcal X$ 的完备化在保距同构意义唯一。