学习笔记：集合相关知识

集合概念

集合操作

• $x \in A$ 表示 $x$ 是 $A$ 的元素。
• $x \notin A$ 表示 $x$ 不是 $A$ 的元素。
• $A = B$ 表示 $A$ 与 $B$ 的元素完全相同。
• $A \subseteq B$ 表示 $A$ 是 $B$ 的子集（$A$ 的每个元素都在 $B$，但是 $B$ 的每个元素不一定都在 $A$）。
• $A \subset B$ 表示 $A$ 是 $B$ 的真子集（$A \subseteq B$ 且 $A \ne B$）。
• $\varnothing$ 表示空集。
• $U$ 表示全集，即包含讨论范围内的所有元素。
• $\lvert A \rvert$ 表示 $A$ 的元素个数。

表示方法

• 枚举法：$A = \{1,3,5\}$
• 描述法：$B = \{x \ | \ x \in A\}$

常见集合

• 自然数集：$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\cdots\}$
• 整数集：$\mathbb{N} = \{\cdots,-2,1,0,1,2,\cdots\}$
• 有理数集：$\mathbb{Q}$
• 实数集：$\mathbb{R}$

区间表示

集合运算

• 并集：$A \cup B = \{x \ | \ x \in A \operatorname{or} x \in B\}$
• 交集：$A \cap B = \{x \ | \ x \in A \operatorname{and} x \in B\}$
• 差集：$A \ \backslash \ B = \{x \ | \ x \in A \operatorname{and} x \notin B\}$
• 补集：$\={A} = U \ \backslash \ A$

运算性质

• 交换律：$A \cup B = B \cup A,A \cap B = B \cap A$
• 结合律：$A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C),A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C)$
• 分配律：$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
• 吸收律：$A \cup (A \cap B) = A \cap (A \cup B) = A$
• 零一律：$A \cup \varnothing = A,A \cap \varnothing = \varnothing,A \cup U = U,A \cap U = A$

容斥原理计数

• $\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert$
• $\lvert A \cup B \cup C \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert + \lvert C \rvert - \lvert A \cap B \rvert - \lvert A \cap C \rvert - \lvert B \cap C \rvert + \lvert A \cap B \cap C \rvert$