题解：AT_abc138_f [ABC138F] Coincidence

因为有 $x \le y$，则 $y \bmod x \ge y - x$。

同时我们知道 $y - x \ge x \oplus y$，因此显然有 $y \bmod x = y - x = x \oplus y$。

考虑如何满足 $y - x = x \oplus y$。先拆位，对于任意一位，一定有 $y - x \le x \oplus y$。只要任意一位没有取等，最后也一定取不到等。

所以对于任何一个二进制位，一定有 $y - x = x \oplus y$。那么如果 $y$ 的这一位是 $0$，$x$ 这一位也只能是 $0$。如果 $y$ 的这一位是 $1$，则 $x$ 这一位可以是 $0$ 也可以是 $1$。

在此基础上，我们还要满足 $y \bmod x = y - x$。这个怎么实现？考虑 $y$ 的二进制下的最高位，若 $x$ 这一位也为 $1$，则一定满足。若 $x$ 这一位为 $0$，此时必须有 $y < 2x$，那么 $x$ 的下一位必定是 $1$。而根据刚才我们的结论，$x$ 某一位是 $1$ 时 $y$ 必须也是 $1$，则 $y$ 的这一位是 $1$，则 $x$ 再下一位也是 $1$……以此类推。推到最后我们发现无法满足条件，所以 $x$ 这一位不可能是 $0$。

剩下的实现很简单，数位 DP 即可。

需要注意的是这个数位 DP 不能像常规数位 DP 那样拆成 $[1, L - 1]$ 和 $[1, R]$ 分开计算，因为这样无法统计 $x$ 在 $[1, L - 1]$ 而 $y$ 不在时的贡献。所以必须在 DP 时同时记录上下界。