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范德蒙德卷积的 GF 推导
y
yemuzhe
2025/11/30 00:42
算法·理论
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@mimxzhwx
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2025/12/01 17:23
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/01 17:23
3 个月前
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设
F
(
x
)
=
∑
i
=
0
(
a
i
)
x
i
=
(
1
+
x
)
a
F (x) = \sum _ {i = 0} \binom a i x ^ i = (1 + x) ^ a
F
(
x
)
=
∑
i
=
0
(
i
a
)
x
i
=
(
1
+
x
)
a
，
G
(
x
)
=
∑
i
=
0
(
b
i
)
x
i
=
(
1
+
x
)
b
G (x) = \sum _ {i = 0} \binom b i x ^ i = (1 + x) ^ b
G
(
x
)
=
∑
i
=
0
(
i
b
)
x
i
=
(
1
+
x
)
b
，则
F
(
x
)
G
(
x
)
=
(
1
+
x
)
a
(
1
+
x
)
b
=
(
1
+
x
)
a
+
b
=
∑
i
=
0
(
a
+
b
i
)
x
i
F (x) G (x) = (1 + x) ^ a (1 + x) ^ b = (1 + x) ^ {a + b} = \sum _ {i = 0} \binom {a + b} i x ^ i
F
(
x
)
G
(
x
)
=
(
1
+
x
)
a
(
1
+
x
)
b
=
(
1
+
x
)
a
+
b
=
∑
i
=
0
(
i
a
+
b
)
x
i
故
∑
(
a
i
)
(
b
n
−
i
)
=
[
x
n
]
F
(
x
)
G
(
x
)
=
(
a
+
b
i
)
\sum \binom a i \binom b {n - i} = [x ^ n] F (x) G (x) = \binom {a + b} i
∑
(
i
a
)
(
n
−
i
b
)
=
[
x
n
]
F
(
x
)
G
(
x
)
=
(
i
a
+
b
)
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