P12540 题解 / [XJTUPC 2025] O

观察到了指数、模意义，素数二字也加粗了，考虑费马小定理：$a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$。其中 $p$ 为任意素数。

做一做会发现极难构造与 $a$ 和 $c$ 有关的 $b$。于是我们大胆猜测 $a$，$c$ 与 $b$ 之间没有任何关系。

结合费马小定理不难猜测出来，式子的左边极有可能是 $1$。这就意味着 $a^b$ 是若干个 $1$（即 $a ^ {p - 1}$）的乘积。此时由幂的计算规律不难知道，$b$ 一定是若干个 $p - 1$ 的和。

不妨设 $b = k \times (p - 1)$。

这样式子左边是 $1$，意味着右边也是 $1$。

容易发现 $p - 1 \equiv -1 \pmod{p}$，所以 $b \equiv -1 \times k \pmod{p}$。

所以右边就是 $(-1 \times k)^c$。

因为右边是 $1$，所以我们大胆猜测底数（即 $-1 \times k$）就是 $1$。这样就可以计算出 $k = -1$。

而 $b$ 不能是负数，所以把 $k$ 转化为 $p - 1$ 即可。

答案就是 $(p - 1)^2$。

另一种思考方法。

注意到去年的最后一题也是答案极其简单的数学题，不妨猜测今年的答案也会异常简单。

发现 $p$ 是素数被加粗了，所以答案肯定和 $p$ 有密切的关系。

大胆猜测答案不会很离谱。

对 $p$，$p + 1$，$p - 1$，$p^2$，$p^2 - 1$，$p^2 + 1$，$(p + 1)^2$，$(p - 1)^2$ 等等近似的 $b$ 进行枚举，就可以发现 $(p - 1)^2$ 就是答案。