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浅析尺规作图

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0、瞎说&前言

说到尺规作图，相信大家印象最深的就是高斯十九岁证明正十七边形可尺规作图。高斯的故事激励着我们。最近对尺规作图有所研究，和大家分享一下。
本博客使用洛谷图床，GeoGebra\rm GeoGebra绘图软件（强烈推荐，跟几何画板差不多，还免费！）

1、尺规作图

1、定义及要求

尺规作图，即在有限次数内，用没有刻度的直尺和圆规作图。
1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；
2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。

2、尺规作图的基本操作

①过已知的两点作过这两点的直线；
②以已知的点为圆心，以已知两点的距离为半径作圆；
③取两条直线交点
④取直线和圆的交点
⑤取圆和圆的交点

3、举例

接下来举的几个例子都是初中学习阶段会遇到的经典题目。

1、作一条线段的中垂线

1、步骤
Step 1： 分别以A,BA,B为圆心，以大于12AB\frac{1}{2} AB的长度为半径作弧，两弧相交于C,DC,D
Step 2：连结C,DC,D，CDCD即为线段ABAB的中垂线
2、简要证明
设CDCD与ABAB的交点为OO
连结AC,BC,AD,BDAC,BC,AD,BD，易证△ACD≅△BCD(SSS)\triangle ACD\cong\triangle BCD(SSS)
∴AC=BC,∠ACD=∠BCD\therefore AC=BC ,\angle ACD = \angle BCD
⇒△ACO≅△BCO(SAS)\Rightarrow \triangle ACO\cong\triangle BCO(SAS)
∴∠AOC=90°,AO=CO\therefore \angle AOC=90\degree ,AO=CO及CDCD垂直平分ABAB

2、作已知角的平分线

1、步骤
Step 1：以AA为圆心，以任意长为半径作弧，交ACAC于DD,ABAB于EE
Step 2：分别以DD,EE为圆心，以大于12DE\frac{1}{2}DE的 长为半径作弧，两弧相交于FF，连结AFAF,AFAF即为所求作的图形
2、简要证明
连结FD,EFFD,EF,易证△AFD≅△AFE(SSS)\triangle AFD \cong \triangle AFE(SSS)
⇒∠CAF=∠BAF\Rightarrow \angle CAF = \angle BAF即AFAF平分∠CAB\angle CAB

4、尺规能做出怎样的图呢？

我们容易证明尺规作图对线段只能进行加，减，乘，除，以及开平方的操作。
这里我只能简要的说明一下（可能不是很严谨，正规的可能要用的群论，域论什么的），具体的还需查找一些资料。
回归到前面讲的（1.2 尺规作图的基本操作），我们用解析几何的眼光来看待尺规作图和这些基本操作。
第①②点都是在列出方程，而第③④⑤点，都是在取交点，在坐标系中其实就是在求解方程。
而由于直线的方程是一次的，而圆的方程是二次的，所以通过取交点所解出的方程的根，都是由有理数加，减，乘，除，开平方（可以不断开平方）构成的。
综上所述，尺规作图只能对线段进行四则运算和开平方。或者看下图。

5、如何进行加减乘除和开平方呢？

为了节省篇幅（后面有难的~~（其实因为懒）~~），一些同理的将会省略。

1、加

如图，已知线段aa和线段bb，求作一条线段cc，使得c=a+bc=a+b
作法：
①作射线ONON
②以OO为圆心，以aa为半径作弧，交ONON于PP
③以PP为圆心，以bb为半径作弧，交ONON于QQ，线段OQOQ即为所求作的图形

2、减

与加法类似，不再阐述

3、乘

已知线段a,ba,b和另一条长度为11的线段,求作一条线段，使得这条线段数值上等于abab
简要说明步骤（省略部分简单的作图环节）：
①作角∠MON\angle MON
②在ONON上截取OP=aOP=a，在OMOM上截取OH=1,HI=bOH=1,HI=b
③连结HPHP，*过II作IB//HPIB//HP交ONON于B，线段PBPB即为所求。
简略证明：
设PB=x;PB=x;
易证△OHP∼△OIB\triangle OHP \sim \triangle OIB
⇒OPOH=OBOI\Rightarrow \frac{OP}{OH}=\frac{OB}{OI}即a1=a+x1+b\frac{a}{1}=\frac{a+x}{1+b}
⇒x=ab\Rightarrow x=ab
*平行线作法：
①在直线l上任取一点B，连接AB并延长；
②以AB的延长线上任一点C为圆心，CB为半径作圆，交直线l于D；
③连接CD并延长；
④以C为圆心，CA为半径作圆，交CD的延长线于E；
⑤连接AE。直线AE即为所求。

4、除

与乘法同理

5、开平方

如图，已知线段aa，线段b=1b=1，求作一条线段，使得它的长度为a\sqrt a
由于美观，省略了一些作图痕迹。
简要步骤（省略部分简单的作图过程）：
①作射线AXAX，在AXAX上截取AC=a,CB=bAC=a,CB=b
②作ABAB的中垂线（作法见前文），交ABAB于OO
③以OO为圆心，以AOAO为半径作圆
④*过CC作ABAB的垂线交⊙OO于PP，线段CPCP即为所求作的图形.
简要证明：
连结AP,BPAP,BP
∵\because PP在⊙OO上
∴∠APB=90°\therefore \angle APB =90 \degree
⇒△APC∼△PCB\Rightarrow \triangle APC \sim \triangle PCB
∴ACPC=PCBC\therefore \frac{AC}{PC}=\frac{PC}{BC}即PC2=AC⋅BC=1×a=aPC^2=AC\cdot BC=1\times a=a
∴PC=a\therefore PC=\sqrt a
*垂线的作法：
①以CC为圆心，以一定的长度为半径作圆，交ABAB于D,ED,E
②分别以D,ED,E为圆心，以DEDE为半径，两圆交于异于点CC的一点FF
③连结CFCF，CFCF即为所求作的图形

5、高斯的结论

这边说明一下，下面要说的这个结论看起来美观，实际上证明过程十分复杂，涉及到抽象代数理论的二次域扩展。这里就不证明了，感兴趣的同学可以自己上网进行查找。
高斯曾研究过正nn边形可尺规作图的条件，得出了下面这个结论（我不会证明）：
n=2k⋅p1⋅p2⋅⋅⋅pm(k∈Z,pn=2^{k}\cdot p_1 \cdot p_2 \cdot\cdot \cdot p_m(k \in Z,p为费马质数，nn为边数))
费马质数目前找到5个，分别是3,5,17,257,65537
关于257和65537，据说有人还专门研究过他们怎么尺规作图

2、正十七边形正五边形的可尺规作图的证明

终于可以讲些有趣的了QAQQAQ
由于正十七边形的计算实在复杂，不太友好，这里只讲正五边形。
首先有一种比较简单的证明方法，就是1.51.5 高斯的结论中提到的式子。
当n=5n=5时 5=20×55=2^0\times 5
55是费马质数,所以正五边形可尺规作图（正十七边形同理）。
但是由于这个式子来不明说不清，我们还是换一种通俗易懂（真的吗）的方法吧。

0、前铺知识

一个简单的定理 简要说明（证明）：
根据欧拉公式eiα=cos⁡α+isin⁡αe^{i\alpha }=\cos \alpha +i \sin \alpha(ii为虚数单位）
所以两个复数相乘有z1⋅z2=(r1eiα)⋅(r2eiβ)z_1\cdot z_2=(r_1 e^{i\alpha})\cdot (r_2 e^{i\beta})
=r1r2ei(α+β)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=r_1 r_2e^{i(\alpha + \beta)}
其中,rr为复数的模。
通俗地讲，就是模相乘，辐角相加。

1、正片开始

我们要作圆内接正五边形，首先我们在笛卡尔坐标系中画一个单位圆（即边长为1的圆），设我们要作的正五边形为ABCDEABCDE，把这个平面看做复数平面。
作BB′BB'垂直OAOA于B′B'，我们只要求出OB′OB',就可以知道BB,从而画出正五边形。
而OB′=cos⁡∠BOB′⋅OB=cos⁡72°OB'=\cos \angle BOB' \cdot OB=\cos 72\degree，也就是说只要我们证明cos⁡72°\cos 72\degree由有理数加减乘除开平方组成就行了。
我们把这五个复平面上的点看做ϵ0,ϵ1...ϵ5\epsilon_0,\epsilon_1...\epsilon_5我们有ϵk=cos⁡θk+isin⁡θk\epsilon_k=\cos \theta_k+i\sin\theta_k
根据之前的定理，我们得到ϵk=ϵ1k\epsilon_k=\epsilon_1^k（复数相乘，模相乘，辐角相加，而这里的模都是1，辐角变成原来的kk倍,就是ϵk\epsilon_k）
所以ϵ5=ϵ0=1\epsilon_5=\epsilon_0=1
我们还可以得到ϵ0+ϵ1+ϵ2+ϵ3+ϵ4=0\epsilon_0+\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=0（类似于向量，由于他们是对称分布的，所以相加得00）
上式边形得ϵ1+ϵ2+ϵ3+ϵ4=−ϵ0=−1\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=-\epsilon_0=-1
（下面感受一下高斯精彩的思维吧！）
令ϵ1+ϵ4=x1,ϵ2+ϵ3=x2\epsilon_1+\epsilon_4=x_1,\epsilon_2+\epsilon_3=x_2
则x1+x2=−1x_1+x_2=-1
x1x2=ϵ1ϵ2+ϵ1ϵ3+ϵ2ϵ4+ϵ3ϵ4x_1x_2=\epsilon_1\epsilon_2+\epsilon_1\epsilon_3+\epsilon_2\epsilon_4+\epsilon_3\epsilon_4
根据我们刚刚得到的ϵk=ϵ1k\epsilon_k=\epsilon_1^k和ϵ5=ϵ0\epsilon_5=\epsilon_0，有x1x2=ϵ3+ϵ4+ϵ6+ϵ7=ϵ1+ϵ2+ϵ3+ϵ4=−1x_1x_2=\epsilon_3+\epsilon_4+\epsilon_6+\epsilon_7=\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=-1
于是我们只要解方程 {x1x2=−1x1+x2=−1\left\{ \begin{aligned} x_1x_2 & = & -1 \\ x_1+x_2 & = & -1 \end{aligned} \right.
解得x1,2=±5−12x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt 5 -1}{2}
又∵x1=ϵ1+ϵ4=cos⁡72°+isin⁡72°+cos⁡72°−isin⁡72°=2cos⁡72°\because x_1=\epsilon_1+\epsilon_4=\cos 72\degree+i\sin72\degree+\cos72\degree-i\sin72\degree=2\cos72\degree(看图）
∴cos⁡72°=5−14\therefore \cos 72 \degree=\frac{\sqrt 5 -1}{4}
可以发现，这个式子只由加减乘除和开平方组成，可以尺规作图。

3、古希腊三大作图不能问题

有了上述的铺垫，这些问题能够得到很好的解决

1、立方倍积

希腊提洛斯岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”
居民们绞尽脑汁去没有办法，连当时的著名学者柏拉图都束手无策。
后来这个问题被证实是不行的。
假设原本的正方体的边长为11,现在要通过尺规作图做出一条边长为23\sqrt [3]{2}的立方体。
根据我们前面的理论23\sqrt[3]{2}无法通过有理数加减乘除开平方算出，所以这个问题无法尺规作图。
也许上面的说明过于草率，具体可查看这篇文章。
立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从

2、三等分任意角

即尺规作图将任意一个角三等分。
假设我们已知的角（∠BAC\angle BAC）=α\alpha,那就相当于我们知道cos⁡α\cos \alpha(即ADAD)
只要我们作出cos⁡α3\cos \frac{\alpha}{3}(即AFAF)，原命题就成立了
根据倍角公式cos⁡(3×α3)=4cos⁡3α3−3cos⁡α3\cos(3\times \frac{\alpha}{3})=4\cos^3\frac{\alpha}{3}-3\cos\frac{\alpha}{3}
为了方便书写，设x=cos⁡α3x=\cos\frac{\alpha}{3}
所以有cos⁡α=4x3−3x\cos \alpha=4x^3-3x
这个式子xx的取值由cos⁡α\cos \alpha决定，若α=90°\alpha=90\degree,则x=32x=\frac{\sqrt 3}{2},可尺规作图
但α=60\alpha= 60时，xx就无法用有理数加减乘除开平方算出来，所以不行。
这个命题也被否认了。

3、化圆为方问题

已知一个面积为SS的圆，求作一个正方形，使它的面积为SS
设原来圆的半径为rr,要作的正方形的边长为aa.
则πr2=a2\pi r^2=a^2
⇒a=rπ\Rightarrow a=r \sqrt \pi
*由于π\pi是超越数（即无法用不能作为有理数方程的根的数），自然不能有有理数加减乘除开方得到，所以无法尺规作图。
*π\pi是超越数的证明比较复杂，有兴趣的可以自己搜索。

4、后记

这篇只讲到了尺规作图的皮毛，还有些更深入的（例如伽罗瓦的群论，域论，本来文章里的很多证明都要用到这些，但是由于难度过高，不太友好便没写了）文章中没有提及，欢迎大家自己搜索。
另外，受到@libra9z的建议，关于单规作图、锈规作图，还有许多有趣之处。如果有时间，我还会和大家分享分享。
本人时间仓促，学历尚浅，若有不足或错误之处，欢迎大佬指正。
（单规作图和锈规作图以及单尺作图应该不会更了，初三压力挺大的，学习去了！）
关于尺规作图的文章
立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从
代码敲累了？来玩欧式几何

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