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一元二次方程及其判别式
r
ren_gao_zu
2025/07/24 16:48
学习·文化课
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2025/12/02 23:53
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2025/12/02 23:53
3 个月前
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一元二次方程（在R上）
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
ax^2+bx+c=0(a≠0)
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
=
0
)
直接写答案
x
2
=
1
⟹
x
=
±
1
x^2=1\Longrightarrow x=\pm 1
x
2
=
1
⟹
x
=
±
1
配方法
x
2
+
2
x
−
2024
=
0
x^2+2x-2024=0
x
2
+
2
x
−
2024
=
0
x
2
+
2
x
+
1
=
2025
x^2+2x+1=2025
x
2
+
2
x
+
1
=
2025
(
x
+
1
)
2
=
2025
(x+1)^2=2025
(
x
+
1
)
2
=
2025
x
+
1
=
±
45
x+1=\pm45
x
+
1
=
±
45
x
=
−
46
或
44
x=-46或44
x
=
−
46
或
44
因式分解（十字相乘）
x
2
+
2
x
−
2024
=
0
x^2+2x-2024=0
x
2
+
2
x
−
2024
=
0
(
x
+
46
)
(
x
−
44
)
=
0
(x+46)(x-44)=0
(
x
+
46
)
(
x
−
44
)
=
0
x
=
−
46
或
44
x=-46或44
x
=
−
46
或
44
求根公式（由配方得到）
(
a
x
2
+
b
a
x
+
b
2
4
a
2
)
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
(ax^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
(
a
x
2
+
a
b
x
+
4
a
2
b
2
)
=
4
a
2
b
2
−
4
a
c
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
(
x
+
2
a
b
)
2
=
4
a
2
b
2
−
4
a
c
判别式
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\Delta=b^2-4ac
Δ
=
b
2
−
4
a
c
(Ⅰ)
Δ
>
0
时，
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
\Delta>0时，x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Δ
>
0
时，
x
+
2
a
b
=
±
2
a
b
2
−
4
a
c
,
x
=
2
a
−
b
±
b
2
−
4
a
c
(Ⅱ)
Δ
=
0
时，
x
+
b
2
a
=
0
,
x
=
−
b
2
a
{
1
个实根（二重根）
2
个相等的实根
\Delta=0时，x+\frac{b}{2a}=0,x=-\frac{b}{2a}\begin{cases}1个实根（二重根）\\2个相等的实根\end{cases}
Δ
=
0
时，
x
+
2
a
b
=
0
,
x
=
−
2
a
b
{
1
个实根（二重根）
2
个相等的实根
(Ⅲ)
Δ
<
0
时，在
R
上无解（无实根）
\Delta<0时，在R上无解（无实根）
Δ
<
0
时，在
R
上无解（无实根）
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