首先吐槽一嘴，这个数据范围很奇怪，这题是可以做到 $O(n)$ 的，可是 $n\leq 1000$。这什么神操作？

先不管数据范围以及题目的要求。拿到这题，首先按照题意随意构造几个。如果是一条长度为 $n$ 的链，若边权全为 $1$ 则可以构造出 $[0, n-1]$。瞄一眼所求，发现是一个二次的式子，于是想到把这条链看作左右两段，想办法让它们乘起来，我们可以类似进制的操作。先按照前面所述的方法，设左边构造出 $[0, a]$，右边构造出 $[0, b]$，此时，将右边的边权全部乘上 $a+1$，则右边变成了 $0, a+1, 2(a+1), \dots, b(a+1)$，再加上左边 $[0, a]$，则可以构造出 $[0, ab+a+b]$ 的数。当然如果分成更多段，当 $n$ 大的时候可以做得更好，不过在此题没有必要。

再回过头看看题目要求，把 $\left\lfloor\frac{2n^2}{9}\right\rfloor$ 中的 $\frac{2n^2}{9}$ 看成 $\frac{n}{3}\times\frac{2n}{3}$，则在一条链的情况，只需要把链分成长度比为 $\frac{1}{2}$ 的两段，当然比离 $1$ 越近越好，就可以达到题目要求。那么，对于一般情况，只需要把整棵树拆成两棵分别用链的方法解决。

而对于单独一棵的贡献，若要从链的方法迁移，则能产生贡献的就是树上的节点到树根的链。比如操作子树 $u$ 时，对于两棵子树 $v1, v2$，设子树 $v1$ 可以做出 $[0, a]$，子树 $v2$ 可以做出 $[0, b]$。设边 $(u, v1)$ 的边权为 $w$（这是因为 $v1$ 以前的子树已经表示出了 $[0, w-1]$），则子树 $v1$ 实际表示出了 $[w, w+a]$。那么给子树 $v2$ 的值都加上 $w+a+1$，即将 $(u, v2)$ 的边权设为 $w+a+1$，就可以最大化表示出的数的数量了。可以发现，一棵子树 $u$ 能产生的贡献为 $size_u-1$，这个使用归纳法可证。则像做链的方法一样把子树 $u$ 分成两部分即可。

为了方便划分这两部分，可以先求出树的重心，此时将重心作为根，则每棵子树的大小都不超过 $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$，把子树按大小降序排，按顺序取子树，当取的总大小不小于 $\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$ 为止，则一定能分成大小差不超过 $\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor$ 的两部分。

代码在此。