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Nygglatho
2025/08/23 10:30
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@mio6kion
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2025/12/02 14:11
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2025/12/02 14:11
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F
(
x
)
=
∑
i
≥
0
f
i
x
i
=
1
+
∑
i
≥
1
(
f
i
−
1
+
(
i
−
1
)
+
(
i
−
1
3
)
)
x
i
=
1
+
x
∑
i
≥
1
(
f
i
−
1
x
i
−
1
+
(
i
−
1
)
x
i
−
1
+
(
i
−
1
3
)
x
i
−
1
)
=
1
+
x
(
∑
i
≥
1
f
i
−
1
x
i
−
1
+
∑
i
≥
1
(
i
−
1
)
x
i
−
1
+
∑
i
≥
1
(
i
−
1
3
)
x
i
−
1
)
=
1
+
x
(
∑
i
≥
0
f
i
x
i
+
∑
i
≥
0
i
x
i
+
∑
i
≥
0
(
i
3
)
x
i
)
=
1
+
x
(
F
(
x
)
+
∑
i
≥
0
i
x
i
+
∑
i
≥
0
i
(
i
−
1
)
(
i
−
2
)
6
x
i
)
=
1
+
x
(
F
(
x
)
+
1
(
1
−
x
)
2
+
x
3
(
1
−
x
)
4
)
=
1
+
x
F
(
x
)
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
(
1
−
x
)
4
=
1
+
x
F
(
x
)
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
(
1
−
x
)
4
(
1
−
x
)
F
(
x
)
=
1
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
(
1
−
x
)
4
(
1
−
x
)
F
(
x
)
=
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
(
1
−
x
)
4
F
(
x
)
=
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
(
1
−
x
)
5
=
(
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
)
(
1
−
x
)
−
5
=
(
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
)
∑
i
≥
0
(
−
5
)
i
‾
i
!
x
i
=
(
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
)
∑
i
≥
0
(
i
+
4
i
)
x
i
\begin{aligned} F(x)&=\sum\limits_{i\ge 0}f_ix^i\\ &=1+\sum\limits_{i\ge 1}\left(f_{i-1}+(i-1)+\binom{i-1}{3}\right)x^i\\ &=1+x\sum\limits_{i\ge 1}\left(f_{i-1}x^{i-1}+(i-1)x^{i-1}+\binom{i-1}{3}x^{i-1}\right)\\ &=1+x\left(\sum\limits_{i\ge 1}f_{i-1}x^{i-1}+\sum\limits_{i\ge 1}(i-1)x^{i-1}+\sum\limits_{i\ge 1}\binom{i-1}{3}x^{i-1}\right)\\ &=1+x\left(\sum\limits_{i\ge 0}f_{i}x^{i}+\sum\limits_{i\ge 0}ix^i+\sum\limits_{i\ge 0}\binom{i}{3}x^i\right)\\ &=1+x\left(F(x)+\sum\limits_{i\ge 0}ix^i+\sum\limits_{i\ge 0}\dfrac{i(i-1)(i-2)}{6}x^i\right)\\ &=1+x\left(F(x)+\dfrac{1}{(1-x)^2}+\dfrac{x^3}{(1-x)^4}\right)\\ &=1+xF(x)+\dfrac{x}{(1-x)^2}+\dfrac{x^4}{(1-x)^4}\\ &=1+xF(x)+\dfrac{x}{(1-x)^2}+\dfrac{x^4}{(1-x)^4}\\ (1-x)F(x)&=1+\dfrac{x}{(1-x)^2}+\dfrac{x^4}{(1-x)^4}\\ (1-x)F(x)&=\dfrac{(1-x)^4+x(1-x)^2+x^4}{(1-x)^4}\\ F(x)&=\dfrac{(1-x)^4+x(1-x)^2+x^4}{(1-x)^5}\\ &=\left((1-x)^4+x(1-x)^2+x^4\right)(1-x)^{-5}\\ &=\left((1-x)^4+x(1-x)^2+x^4\right)\sum\limits_{i\ge 0}\dfrac{(-5)^{\underline i}}{i!}x^i\\ &=\left((1-x)^4+x(1-x)^2+x^4\right)\sum\limits_{i\ge 0}\binom{i+4}{i}x^i\\ \end{aligned}
F
(
x
)
(
1
−
x
)
F
(
x
)
(
1
−
x
)
F
(
x
)
F
(
x
)
=
i
≥
0
∑
f
i
x
i
=
1
+
i
≥
1
∑
(
f
i
−
1
+
(
i
−
1
)
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(
3
i
−
1
)
)
x
i
=
1
+
x
i
≥
1
∑
(
f
i
−
1
x
i
−
1
+
(
i
−
1
)
x
i
−
1
+
(
3
i
−
1
)
x
i
−
1
)
=
1
+
x
(
i
≥
1
∑
f
i
−
1
x
i
−
1
+
i
≥
1
∑
(
i
−
1
)
x
i
−
1
+
i
≥
1
∑
(
3
i
−
1
)
x
i
−
1
)
=
1
+
x
(
i
≥
0
∑
f
i
x
i
+
i
≥
0
∑
i
x
i
+
i
≥
0
∑
(
3
i
)
x
i
)
=
1
+
x
(
F
(
x
)
+
i
≥
0
∑
i
x
i
+
i
≥
0
∑
6
i
(
i
−
1
)
(
i
−
2
)
x
i
)
=
1
+
x
(
F
(
x
)
+
(
1
−
x
)
2
1
+
(
1
−
x
)
4
x
3
)
=
1
+
x
F
(
x
)
+
(
1
−
x
)
2
x
+
(
1
−
x
)
4
x
4
=
1
+
x
F
(
x
)
+
(
1
−
x
)
2
x
+
(
1
−
x
)
4
x
4
=
1
+
(
1
−
x
)
2
x
+
(
1
−
x
)
4
x
4
=
(
1
−
x
)
4
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
=
(
1
−
x
)
5
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
=
(
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
)
(
1
−
x
)
−
5
=
(
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
2
+
x
4
)
i
≥
0
∑
i
!
(
−
5
)
i
x
i
=
(
(
1
−
x
)
4
+
x
(
1
−
x
)
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x
4
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0
∑
(
i
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+
4
)
x
i
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