一个概率问题

突发奇想，编了一个问题。

如图所示，假设有一个数轴，你初始位于原点，目标位于第 $n$ 个点。你有一个骰子，能产生 $1$ 到 $6$ 之间的一个随机数。每次投骰子，得到的数是多少，你就向右移动多少个单位。求：你经过目标的概率是多少。

我们可以设经过第 $n$ 个点的概率为 $f(n)$。

经过递推，可以得到： $f(n)=\begin{cases} 1 & n = 0 \\ \sum_{i=0}^{n-1} f(i) \times \frac{1}{6} & 1 \le n \le 6 \\ \sum_{i=n-6}^{n-1} f(i) \times \frac{1}{6} & n \ge 7 \end{cases}$

那么问题来了，当 $n$ 趋向于无穷大时，求 $f(n)$ 等于多少？即求 $\lim_{n \to \infty} f(n)$ 的值。

如果骰子能产生 $1$ 到 $m$ 之间的一个随机数，$\lim_{n \to \infty} f(n)$ 将变为多少？