专栏文章

一种不基于微积分的求多项式函数下面积的方式

GGold14526神金
算法·理论参与者 9已保存评论 8

文章操作

快速查看文章及其快照的属性，并进行相关操作。

当前评论
8 条
当前快照
1 份
快照标识符
@miq5iepg
此快照首次捕获于
2025/12/03 23:17
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/03 23:17
3 个月前
查看原文
本人初三，下面介绍的是一种自己想出来的方法，内容原创，不知道有没有已经成为前人的智慧。
作为一个 OIer，一些证明的过程不会很严谨，请见谅。

描述

对于一个给定的函数 f(x)=a0x0+a1x1+a2x2+⋯+anxnf(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\dots +a_nx^n，求 l≤x≤rl\le x\le r 时，函数 f(x)f(x) 与 xx 轴所夹的面积。
注意这里认为面积有正负性，即在 xx 轴上方，函数 f(x)f(x) 下方的面积为正，xx 轴下方，函数 f(x)f(x) 上方的面积为负。

分解

首先先将 f(x)f(x) 拆成 g0(x)+g1(x)+g2(x)+⋯+gn(x)g_0(x)+g_1(x)+g_2(x)+\dots+g_n(x)，其中 gi(x)=aixig_i(x)=a_ix^i。
那么 f(x)f(x) 下的面积也可以拆成 g0(x),g1(x),g2(x),…,gn(x)g_0(x),g_1(x),g_2(x),\dots,g_n(x) 下的面积之和。
于是我们只要能求每个 gi(x)g_i(x) 下的面积即可。
不妨设 l≥0l\ge 0（l<0l<0 时同理），在 l≤x≤rl\le x\le r 这段区间的面积可以用 0≤r0\le r 部分的面积减去 0≤x≤l0\le x\le l 部分的面积得到，于是我们只需解决 0≤x≤r0\le x\le r 的问题即可。

构造模型

现在我们只需解决这么一个问题：
  • 有函数 f(x)=xkf(x)=x^k，求 0≤x≤r0\le x\le r 时 f(x)f(x) 下的面积。
考虑当 x=ax=a 时，f(x)=akf(x)=a^k，这相当于一个边长为 aa 的 kk 维立方体的体积，设 kk 维的坐标表示为 (x0,x1,x2,…,xk−1)(x_0,x_1,x_2,\dots,x_{k-1})，那么这个立方体可以表示为 0≤x0≤a,0≤x1≤a,0≤x2≤a,…,0≤xk−1≤a0\le x_0\le a,0\le x_1\le a,0\le x_2\le a,\dots,0\le x_{k-1}\le a。
那么对于 0≤x≤r0\le x\le r 这段区间的这些立方体之和可以表示为一个 k+1k+1 维的锥形体 0≤x0≤r,0≤x1≤x0,0≤x2≤x0,…0≤xk≤x00\le x_0\le r,0\le x_1\le x_0,0\le x_2\le x_0,\dots 0\le x_k\le x_0。
那么这个锥形体的体积就是上述提到的 f(x)f(x) 下的面积。

求答案

可以构造出 k+1k+1 个等价的锥形体（为了方便书写，以下默认 xi≥0x_i\ge 0）：
  • x0≤r,x1≤x0,x2≤x0,…,xk≤x0x_0\le r,x_1\le x_0,x_2\le x_0,\dots,x_k\le x_0
  • x1≤r,x0<x1,x2≤x1,…,xk≤x1x_1\le r,x_0< x_1,x_2\le x_1,\dots,x_k\le x_1
  • x2≤r,x0<x2,x1<x2,…,xk≤x2x_2\le r,x_0<x_2,x_1<x_2,\dots,x_k\le x_2
  • …\dots
  • xk≤r,x0<xk,x1<xk,…,xk−1<xkx_k\le r,x_0<x_k,x_1<x_k,\dots,x_{k-1}<x_k
虽然上述几个锥形体中小于号取等的情况并不相同，但是实际上是一样的，因为两个数取等时这个图形是降维的，它在 k+1k+1 维下的体积为 00。
于是上述 k+1k+1 个图形可以拼成高维立方体 x0≤r,x1≤r,x2≤r,…,xk≤rx_0\le r,x_1\le r,x_2\le r,\dots,x_k\le r，那么这 k+1k+1 个锥形体的体积总和是 rk+1r^{k+1}，那么一个锥形体的体积就是 rk+1k+1\frac{r^{k+1}}{k+1}。
即，0≤x≤r0\le x\le r 时，f(x)=xkf(x)=x^k 下的面积为 rk+1k+1\frac{r^{k+1}}{k+1}。

证明

接下来证明上述 k+1k+1 个锥形体和最后那个立方体是相同的：
证明：锥形体中的点都在立方体中
对于任意锥形体，它被表示为 xmax≤r,x0<xmax,x1<xmax,…,xk≤xmaxx_{max}\le r,x_0<x_{max},x_1<x_{max},\dots,x_k\le x_{max} 的形式，那么对于其中每一个点 (x0,x1,x2,…,xk)(x_0,x_1,x_2,\dots,x_k)，这几个坐标中的最大值小于等于 rr，那么每一维都小于等于 rr，那么这个点一定在立方体中。
证明：立方体中的点都在锥形体中
对于立方体中任意一个点 (x0,x1,x2,…,xk)(x_0,x_1,x_2,\dots,x_k)，取出其中的最大值 xmaxx_{max}（若有多个选择下标最小的一个），那么这个点一定在锥形体 xmax≤r,x0<xmax,x1<xmax,…,xk≤xmaxx_{max}\le r,x_0<x_{max},x_1<x_{max},\dots,x_k\le x_{max} 中。
至此，证毕。

结论

对于函数 f(x)=xkf(x)=x^k，在 0≤x≤r0\le x\le r 内，f(x)f(x) 下的面积为 rk+1k+1\frac{r^{k+1}}{k+1}。
对于函数 f(x)=a0x0+a1x1+a2x2+⋯+anxnf(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\dots+a_nx^n，在 l≤x≤rl\le x\le r 内，f(x)f(x) 下的面积为 ∑i=0nai(ri+1i+1−li+1i+1)\sum_{i=0}^n a_i(\frac{r^{i+1}}{i+1}-\frac{l^{i+1}}{i+1})。

评论

共 8 条评论，欢迎与作者交流。

正在加载评论...