导数相关概念

导数的定义

可导与连续的关系

导数的几何意义

函数求导法则

基本初等函数的导数公式

$$\begin{aligned} &\text{常数函数：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(c) = 0 \\[4pt] &\text{幂函数：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1} \\[4pt] &\text{指数函数：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x) = e^x,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a^x) = a^x \ln a \quad (a>0,\ a\neq1) \\[4pt] &\text{对数函数：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln x) = \frac{1}{x},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\log_a x) = \frac{1}{x\ln a} \quad (a>0,\ a\neq1) \\[4pt] &\text{三角函数：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x) = \cos x,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos x) = -\sin x, \\[4pt] &&& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan x) = \sec^2 x,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cot x) = -\csc^2 x, \\[4pt] &&& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x) = \sec x \tan x,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\csc x) = -\csc x \cot x \\[4pt] &\text{反三角函数：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\[4pt] &&& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\operatorname{arccot} x) = -\frac{1}{1+x^2}, \\[4pt] &&& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\operatorname{arcsec} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\operatorname{arccsc} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned}$$

函数和、差、积、商的求导法则

$$\begin{aligned} &\text{常数倍：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(c f(x)\bigr) = c \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \\[4pt] &\text{和与差：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(f(x) \pm g(x)\bigr) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \pm \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) \\[4pt] &\text{乘法法则：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(f(x)g(x)\bigr) = f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) + g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \\[4pt] &\text{除法法则：} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) - f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)}{[g(x)]^2} \quad (g(x)\neq 0) \end{aligned}$$

反函数求导法则

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, \qquad \text{即} \quad \bigl[f^{-1}(y)\bigr]' = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.$$

复合函数求导法则（链式法则）

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}, \qquad \text{即} \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x).$$

隐函数及参数方程所确定的函数的导数

隐函数的导数

隐函数的概念

$$F(x,y)=0$$

隐函数求导的三种常用方法

方法一：直接对 $x$ 求导（链式法则）

1. 将方程中的 $y$ 视为 $x$ 的函数 $y(x)$。
2. 方程两边同时对 $x$ 求导，遇到关于 $y$ 的函数时，使用链式法则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(y)=f'(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
3. 整理出含有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项，移项解出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

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$$2x + 2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}\quad(y\neq0).$$

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$$5y^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1-21x^6=0,$$ $$(5y^4+2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+21x^6,$$ $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+21x^6}{5y^4+2}.$$

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方法二：利用微分形式不变性（两边微分）

1. 求 $F(x,y)=0$ 的全微分：$F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y = 0$。
2. 解得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y}$（其中 $F_y \neq 0$）。

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$$F_x = y,\quad F_y = e^y + x.$$ $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{y}{e^y+x}.$$

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方法三：对数求导法

1. 对函数式两边取自然对数，利用对数性质化简。
2. 两边对 $x$ 求导（此时 $y$ 是 $x$ 的函数）。
3. 解出 $y'$，并最终用 $y$（或原表达式）代回。

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$$\frac{1}{y}y' = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x},$$ $$y' = y\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right) = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).$$ $$x\ln y = y\ln x.$$ $$\ln y + x\cdot\frac{1}{y}y' = y'\ln x + y\cdot\frac{1}{x},$$ $$\left(\frac{x}{y} - \ln x\right)y' = \frac{y}{x} - \ln y,$$ $$y' = \frac{\frac{y}{x} - \ln y}{\frac{x}{y} - \ln x}.$$

参数方程所确定的函数的导数

参数方程形式

$$\begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases}\quad t\in[\alpha,\beta],$$

导数公式

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\quad(\varphi'(t)\neq0).$$

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$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t.$$

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$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{\sin t}{1-\cos t} = \cot\frac{t}{2}.$$

小结

• 隐函数求导：
  • 直接法：方程两边对 $x$ 求导，视 $y$ 为 $x$ 的函数，使用链式法则。
  • 微分法：利用全微分 $F_x \mathrm{d}x+F_y \mathrm{d}y=0$，得 $y'=-F_x/F_y$。
  • 对数求导法：先取对数简化，再求导，适合幂指函数、复杂乘除式。
• 参数方程求导：
  • 一阶导数 $y'=\psi'(t)/\varphi'(t)$。

高阶导数

定义与符号

$$f''(x),\quad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2},\quad y''.$$ $$f^{(n)}(x),\quad \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n},\quad y^{(n)}.$$

莱布尼茨公式 —— 乘积的高阶导数

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^k \; u^{(k)} \, v^{(n-k)}.$$

高阶导数的应用

• 泰勒公式：将函数展开为多项式 $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n.$$
• 极值判定：若 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)>0$ 则为极小值，$f''(x_0)<0$ 为极大值；高阶导数可用于拐点分析。
• 物理意义：位移 $s(t)$ 对时间的一阶导是速度 $v(t)$，二阶导是加速度 $a(t)$，三阶导称为急动度 (jerk)。

微分

微分的定义

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$ $$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0)$$ $$\mathrm{d}y\big|_{x=x_0} = A \Delta x \quad \text{或} \quad \mathrm{d}f(x_0) = A \Delta x$$ $$\mathrm{d}y = f'(x_0) \, \mathrm{d}x$$ $$\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x.$$

几何意义

• 微分 $\mathrm{d}y$ 就是切线上纵坐标的改变量；
• 函数增量 $\Delta y$ 是曲线上纵坐标的改变量。

基本初等函数的微分公式

微分的四则运算法则

• 线性法则 $$\mathrm{d}(u \pm v) = \mathrm{d}u \pm \mathrm{d}v$$
• 乘积法则 $$\mathrm{d}(u v) = v \, \mathrm{d}u + u \, \mathrm{d}v$$
• 商法则 $$\mathrm{d}\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \, \mathrm{d}u - u \, \mathrm{d}v}{v^2} \quad (v \neq 0)$$

复合函数的微分（一阶微分形式不变性）

$$\mathrm{d}y = f'(u) \, \mathrm{d}u = f'(u) \, g'(x) \, \mathrm{d}x.$$

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微分在近似计算中的应用

$$\Delta y \approx \mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x.$$ $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x.$$

常用近似公式（当 $|x|$ 很小时）

1. $\sin x \approx x$ （$x$ 为弧度）
2. $\tan x \approx x$ （$x$ 为弧度）
3. $\ln(1+x) \approx x$
4. $e^x \approx 1 + x$
5. $\sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$
6. $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$

应用举例

$$\sqrt{1.02} = f(0.02) \approx f(0) + f'(0) \times 0.02 = 1 + \frac{1}{2} \times 0.02 = 1.01.$$ $$\sin 31^\circ \approx \sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0.01745 \approx 0.5 + 0.0151 = 0.5151.$$